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怎么「分酒」

这个游戏的起源是一道趣味数学题，其中的内容如下：有位农夫到酒行，想买两袋 5 公升 的酒。但是酒行里除了三个容积分别是 10 公升 、 7 公升 、 3 公升 的量酒杯之外，没有任何测量工具。酒行老板如何运用这 3 个量杯，倒出两个 5 公升 的酒呢？

为了方便说明， 下面先定义几个名词 ：

甲：酒行里最大的量酒杯，在范例题的容量为 10 公升 。

乙：酒行里第二大的量酒杯，在范例题的容量为 7 公升 。

丙：酒行里最小的量酒杯，在范例题的容量为 3 公升 。

丁：酒行老板想要倒出酒量，在范例题为 5 公升 的酒。

为了深入了解这个游戏，我们将以下列方式来深究这个游戏：

(一) 这个游戏是不是有固定的解题策略？

(二) 如何判断指定的甲、乙、丙量杯组合，是否可将甲的酒量分半？

(三) 怎样的量杯组合，可以倒出任意的指定量来？

一、固定的解题策略：

一般人第一次接触本游戏，应该不会马上动手就倒，而会做下面的考虑：

(一) 乙 = 丁或丙 = 丁时：此时仅需将甲量杯的酒，倒入乙或丙量杯，即可完成。

(二) 甲 – 乙 = 丁或甲 – 丙 = 丁时：此时仅需将甲量杯的酒，倒入乙或丙量杯，即可完成。

(三) 甲 – 乙 – 丙 = 丁时：此时仅需将甲量杯的酒，倒入乙和丙量杯，即可完成。

(四) 当丙 =1 时，不断的重复将甲量杯的酒倒入丙量杯，再将丙量杯的酒倒入乙量杯，终究可倒出丙来。

(五) 甲 + 乙 – 丙 = 丁时：此时需将甲量杯的酒，倒入丙量杯，再将丙量杯的酒倒入乙量杯，最后把乙量杯的酒，倒入甲量杯，即可完成。

(六) 甲 – 乙 + 丙 = 丁时：此时需将甲量杯的酒，倒入乙量杯，再将乙量杯的酒倒入丙量杯，最后把丙量杯的酒，倒入甲量杯，即可完成。

但是会被出来考人的题目，岂能那么简单就被解出来，以范例题来说，必须要倒来倒去达 8 个步骤，如果不实际动手倒倒看，或以笔记录推导倒酒的过程，很难推算出来。所以如果没有一个有规则的策略，很可能东倒西倒，多出许多不必要的动作，所以我们对于「任意的指定量，是否能找到一个固定的策略，只要循此规则操作，必可得到所要的结果 」有了兴趣。

以下先从范例题，来推导可能的解题策略：

( 一 ) 解法 1 ：

甲

(10)
乙

(7)
丙

(3)
操作说明

(0)
10
0
0
各量杯起始的量

(1)
3
7
0
先用甲量杯的酒，把乙量杯倒满，

甲量杯余 3 公升 ，乙量杯被倒满为 7 公升 。

(2)
3
4
3
用乙量杯中的酒，把丙量杯倒满，
乙量杯余 4 公升 ，丙量杯被倒满为 3 公升 。

(3)
6
4
0
把丙量杯中的酒，倒回甲量杯，
甲量杯增为 6 公升 ，丙量杯为 0 公升 。

(4)
6
1
3
用乙量杯中的酒，把丙量杯倒满，
乙量杯余 1 公升 ，丙量杯被倒满为 3 公升 。

(5)
9
1
0
把丙量杯中的酒，倒回甲量杯，
甲量杯增为 9 公升 ，丙量杯为 0 公升 。

(6)
9
0
1
把乙量杯中余下的 1 公升 酒，倒入丙量杯，
乙量杯剩 0 公升 ，丙量杯为 1 公升 。

(7)
2
7
1
用甲量杯中的酒，把乙量杯倒满，
甲量杯余 2 公升 ，乙量杯被倒满为 7 公升 。

(8)
2
5
3
用乙量杯中的酒，把丙量杯倒满，因为丙量杯已有 1 公升 酒，所以乙量杯只用去 2 公升 ，剩下 5 公升 ，操作至此，已完成题目的要求，量出 5 公升 的酒了。

( 二 ) 解法 2 ：

甲

(10)
乙

(7)
丙

(3)
操作说明

(0)
10
0
0
各量杯起始的量

(1)
7
0
3
先用甲量杯的酒，把丙量杯倒满，
甲量杯余 7 公升 ，丙量杯被倒满为 3 公升 。

(2)
7
3
0
把丙量杯中的酒，倒至乙量杯，
乙量杯增为 3 公升 ，丙量杯为 0 公升 。

(3)
4
3
3
用甲量杯的酒，把丙量杯倒满，
甲量杯余 4 公升 ，丙量杯被倒满为 3 公升 。

(4)
4
6
0
把丙量杯中的酒，倒至乙量杯，
乙量杯增为 6 公升 ，丙量杯为 0 公升 。

(5)
1
6
3
用甲量杯的酒，把丙量杯倒满，
甲量杯余 1 公升 ，丙量杯被倒满为 3 公升 。

(6)
1
7
2
把丙量杯中的酒，倒至乙量杯，
因为乙量杯已有 6 公升 ，所以只用掉 1 公升 ，此时乙量杯被倒满为 7 公升 ，丙量杯余 2 公升 。

(7)
8
0
2
把乙量杯的酒，倒至甲量杯，
甲量杯增为 8 公升 ，乙量杯为 0 公升 。

(8)
8
2
0
把丙量杯中的酒，倒至乙量杯，
乙量杯增为 2 公升 ，丙量杯为 0 公升 。

(9)
5
2
3
用甲量杯的酒，把丙量杯倒满，操作至此，
甲量杯恰余 5 公升 ，完成题目的要求，量出 5 公升 的酒了。

( 三 ) 经研究分析之后，我们发现有两种策略可完成倒酒任务：

方法 1 ：以乙量杯为主：

操作 (1) ：将甲量杯的酒倒入乙量杯。

操作 (2) ：将乙量杯的酒倒入丙量杯。

操作 (3) ：如果乙量杯中已没酒了，直接回到操作 (1) 。

如果乙量杯中还有酒，且丙量杯也已倒满酒，那就先将丙量杯的酒倒回甲量杯，然后回到操作 (2) 继续操作。

方法 2 ：以丙量杯为主 ( 过程同方法 1 ，但乙、丙互易 ) ：

操作 (1) ：将甲量杯的酒倒入丙量杯。

操作 (2) ：将丙量杯的酒倒入乙量杯。

操作 (3) ：如果丙量杯中已没酒了，直接回到操作 (1) 。

如果丙量杯中还有酒，且乙量杯也已倒满酒，那就先将乙量杯的酒倒回甲量杯，然后回到操作 (2) 继续操作。

二、以不定方程式来探讨是否可将酒分成两半

在范例题中，我们发现老板要分的酒，是将甲分为两半，亦即丁为甲的一半。类似的问题，我们可以使用「不定方程式」，来了解要求这样把酒分半的问题是「有解」，抑或「无解」！

( 范例题 )

以范例题为例，我们可假设老板将酒倒进 7 公升 的量杯 x 次；酒由 7 公升 量杯倒进 3 公升 的量杯 y 次，因为最后 7 公升 量杯内装 5 公升 酒，所以 7x-3y=5 。

，

设 ，且 t 是正整数。

x=3t-1 ，

y=2(3t-1)-2+t=7t-4 。

所以 。

若取 t=1 ，

则 x=2 、 y=3 ；也就是说在倒 酒 的过程中，老板将 酒 倒进 7 公升 的量杯 2 次 ，由 7 公升 量杯倒进 3 公升 的量杯 3 次 ，就可以完成老板和农夫的需求，倒出 5 公升 的 酒 。
如果以 ( 甲 , 乙 , 丙 ) 表示容积 10 公升 、 7 公升 、 3 公升 量杯内酒的容量，则过程是 (10,0,0)→(3,7,0) →(3,4,3) →(6,4,0)→(6,1,3)→(9,1,0)→(9,0,1) →(2,7,1) →(2,5,3) →(5,5,0)

( 范例二 )

如果量杯的容积分别是 10 公升 、 7 公升 、 4 公升 ， 假设老板将酒倒进 7 公升 的量杯 x 次；酒由 7 公升 量杯倒进 4 公升 的量杯 y 次， 得 7x-4y=5 。

取 ，且 t 是正整数。

则 、

若取 t=2

则 x=3 、 y=4 ；也就是说在倒 酒 的过程中，老板将 酒 倒进 7 公升 的量杯 3 次 ； 酒 由 7 公升 量杯倒进 4 公升 的量杯 4 次 ，即可完成老板和农夫的需求，倒出 5 公升 的 酒 。

(10,0,0) → (3,7,0) → (3,3,4) → (7,3,0) → (7,0,3) → (0,7,3) → (0,6,4) → (4,6,0) → (4,2,4) → (8,2,0) → (8,0,2) → (1,7,2) → (1,5,4) → (5,5,0)

( 范例三 )

如果量杯的容积分别是 10 公升 、 6 公升 、 4 公升 ， 假设老板将酒倒进 6 公升 的量杯 x 次；酒由 6 公升 量杯倒进 4 公升 的量杯 y 次， 得 6x-4y=5 。

取 ，且 t 是正整数。

则 、

由上述方程式得知，因为 t 为正整数，所以得出 x,y 不是正整数，这和假设不符，表示本题无解。

另： 6x 及 4y 都是偶数，其差也必为偶数，所以不可能得到指定的酒量 5 公升 。

( 范例四 )

如果量杯的容积分别是 10 公升 、 8 公升 、 2 公升 ， 假设老板将酒倒进 8 公升 的量杯 x 次；酒由 8 公升 量杯倒进 2 公升 的量杯 y 次， 得 8x-2y=5 。

取 t=4x ，且 t 是正整数。

则 、

由上述方程式得知， t 若为正整数，则 x,y 没有正整数解。

另： 8x 及 2y 都是偶数，其差也必为偶数，所以不可能得到指定的酒量 5 公升 。

结语： 当我们以不定方程式求解甲量杯的酒量是否可分半时：

1. 若 ( 乙 , 丙 )=m( 表示乙和丙的最大公因子为 m) ，且 m 是丁的因子 ，则表示不定方程式有整数解，也就是分酒问题是有解的。

例如范例一 (7,3)=1 ， 1 是 5 的因子，因此分酒问题是有解的；

范例二 (7,4)=1 ， 1 是 5 的因子，因此分酒问题是有解的；

2. 若 ( 乙 , 丙 )=m ，且 m 不是丁的因子 ，则表示不定方程式没有整数解，也就是分酒问题是无解的。

例如范例三 (6,4)=2 ， 2 不是 5 的因子，因此分酒问题是无解的；

范例四 (8,2)=2 ， 2 不是 5 的因子，因此分酒问题是无解的；

注：以上的推导过程已假设甲是偶数 ( 因为要分半 ) 及乙 > 丁，且只考虑倒出的指定量是产生在乙量杯中。如果甲不为偶数，倒出的指定量也不是甲的一半时，丁酒量可能会产生在甲量杯中，此时请自行类推。

三、怎样的量杯组合，可以倒出任意的指定量来？

由上面的推导，我们已知道有些量杯的组合不能将甲酒量分半，有些则可以。那么更进一步：「怎样的量杯组合，才可以分出任意指定量的酒」？ ( 假设要求倒出的酒量必须产生在三个量杯之一，不得两杯合起来算 ) 经我们的归纳，有以下的结论：

(一) 当 ( 乙 , 丙 ) ＝ 1 且乙 + 丙 -2 ≦甲≦ 2 ×乙 + 丙 +1 时，

可使用这三种量酒杯，调出 1 ～甲的所有量。

例如： 在 {10,5,3} 的组合中 ,

( 乙 , 丙 )=(5,3)=1 ， 6 ≦乙 + 丙 -2 ≦甲 =10 ≦ 2 ×乙 + 丙 +1=14

( 10 ,0,0) → (5, 5 ,0) → (5, 2 , 3 ) → ( 8 ,2,0) → (8,0,2) → (3,5,2) → (3, 4 ,3) → ( 6 ,4,0) → (6, 1 ,3) → ( 9 ,1,0) → (9,0,1) → (4,5,1) → (4,3,3) → ( 7 ,3,0) → (7,0,3) → (2,5,3) → (5,5,0)

可调出 1 ～ 10 的所有容量来。

例如： 在 {8,5,2} 的组合中 ,

( 乙 , 丙 )=(5,2)=1 ， 5 ≦乙 + 丙 -2 ≦甲 =8 ≦ 2 ×乙 + 丙 +1=13

( 8 ,0,0) → ( 3 , 5 ,0) → (3,3, 2 ) → (5,3,0) → (5, 1 ,2) → ( 7 ,1,0) → (7,0,1) → (2,5,1) → (2, 4 ,2) → (4,4,0) → (4,2,2) → ( 6 ,2,0) → (3,5,0) → (3,3,2) → (5,3,0) → (5,1,2)

可调出 1 ～ 8 的所有容量来。

例如： 在 {10,7,3} 的组合中 ,

( 乙 , 丙 )=(7,3)=1 ， 8 ≦乙 + 丙 -2 ≦甲 =10 ≦ 2 ×乙 + 丙 +1=18

( 10 ,0,0) → ( 3 , 7 ,0) → (3, 4 ,3) → ( 6 ,4,0) → (6, 1 ,3) → ( 9 ,1,0) → (9,0,1) → ( 2 ,7,1) → (2, 5 ,3) → (5,5,0) → (5,2,3) → ( 8 ,2,0)

可调出 1 ～ 10 的所有容量来。

例如： 在 {8,3,2} 的组合中 ,

( 乙 , 丙 )=(3,2)=1 ， 3 ≦乙 + 丙 -2 ≦甲 =8 ≦ 2 ×乙 + 丙 +1=9

( 8 ,0,0) → ( 3 , 5 ,0) → (3, 2 ,3) → ( 6 ,2,0) → (6,0,2) → ( 1 ,5,2) → (1, 4 ,3) → (4,4,0) → (4,1,3) → ( 7 ,1,0)

可调出 1 ～ 8 的所有容量来。

例如： 在 {10,3,2} 的组合中 ,

( 乙 , 丙 )=(3,2)=1 ，因为甲 =10>2 ×乙 + 丙 +1=9

( 10 ,0,0) → ( 7 , 3 ,0) → (7, 1 , 2 ) → ( 9 ,1,0) → (9,0,1) → ( 6 ,3,1) → (6,2,2) → ( 8 ,2,0) → (8,0,2) → ( 5 ,3,2)

可调出 1,2,3,5,6,7,8,9,10公升 的容量，但倒不出 4 来。

例如： 在 {8,6,5} 的组合中 ,

( 乙 , 丙 )=(6,5)=1 ，因为甲 =8< 乙 + 丙 -2=9

( 8 ,0,0) → ( 2 , 6 ,0) → (2, 1 , 5 ) → ( 7 ,1,0) → (7,0,1) → (1,6,1) → (1,2,5) → (6,2,0) → (6,0,2) → (0,6,2) → (0,3 ,5) → (5,3,0) → (5,0,3) → (0,5,3) → (0,3,5)

可调出 1,2,3,5,6,7,8公升 的容量，但倒不出 4 来。

(二) 当 ( 乙 , 丙 )=2 且甲 = 乙 + 丙 -1 或乙 + 丙 -3 时

可使用这三种量酒杯，调出 1 ～甲的所有量。

例如： 在 { 13,8,6} 的组合中，

( 乙 , 丙 )=(8,6)=2 ，甲 =13= 乙 + 丙 -1

( 13 ,0,0) → ( 5 , 8 ,0) → (5,2 ,6 ) → (11 ,2,0) → (11,0,2) → (3 ,8,2) → (3,4 ,6) → (9 ,4,0) → (9,0,4) → (1 ,8,4) → (1,6,6) → (7 ,6,0) → (7,0,6) → (0,7,6) → (6,7,0) → (6,1,6) → (12 ,1,0) → (12,0,1) → (4,8,1) → (4,3,6) → (10 ,3,0) → (10,0,3) → (2,8,3) → (2,5,6) → (8,5,0) → (8,0,5) → (0,8,5) → (0,7,6)

可调出 1 ～ 13 的所有容量来。

例如： 在 { 11,8,6} 的组合中，

( 乙 , 丙 )=(8,6)=2 ，甲 =11= 乙 + 丙 -3

( 11 ,0,0) → ( 3 , 8 ,0) → (3,2 ,6 ) → (9 ,2,0) → (9,0,2) → (1 ,8,2) → (1,4 ,6) → (7 ,4,0) → (7,0,4) → (0,7,4) → (0,5 ,6) → (6,5,0) → (6,0,5) → (0,6,5) → (0,5,6)

(0,7,4) → (4,7,0) → (4,1,6) → (10 ,1,0)

可调出 1 ～ 11 的所有容量来。

例如： 在 { 12,8,6} 的组合中，

( 乙 , 丙 )=(8,6)=2 ，甲 =12 ≠ 乙 + 丙－ 1=13 或乙 + 丙－ 3=11

( 12 ,0,0) → ( 4 , 8 ,0) → (4,2 ,6 ) → (10 ,2,0) → (10,0,2) → (2,8,2) → (2,4,6) → (8,4,0) → (8,0,4) → (0,8,4) → (0,6,6) → (6,6,0) → (6,0,6) → (0,6,6)

可调出偶数的量而调不出奇数的量。

例如： 在 { 9,4,2} 的组合中，

( 乙 , 丙 )=(4,2)=2 ，甲 =9 ≠ 乙 + 丙－ 1=5 或乙 + 丙－ 3=3

( 9 ,0,0) → ( 5 , 4 ,0) → (5,2 ,2 ) → (7 ,2,0) → (7,0,2) → (3 ,4,2) → (5,4,0)

调不出 1,6,8 的量来。

四、结语：

(一)、 这个游戏的一般出题将甲酒量分半，可以套用固定的解题策略。

(二)、 判断指定的甲、乙、丙量杯组合，是否可将甲的酒量分半出丁的方法是：判断乙丙的最大公因素是否为丁的因素，若为因素则可，反之为否。

(三)、 下面的量杯组合，可以倒出任意的指定量来，否则不行：

1、 当 ( 乙 , 丙 ) ＝ 1 且乙 + 丙 -2 ≦甲≦ 2 ×乙 + 丙 +1 。

2、 当 ( 乙 , 丙 )=2 且甲 = 乙 + 丙 -1 或乙 + 丙 -3 。