[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.7

若 $u_1,u_2,\cdots,u_n\geq 0$, $u_1\cdot u_2\cdots u_n=1$, 则有 $u_1+u_2+\cdots+u_n\geq n$. 试证明这一结论, 并由它导出定理 3 (平均值定理).

证明: H\"older 不等式很容易推广为 $$\bex \sum_{i=1}^n \frac{1}{p_i}=1,\quad 1<p_i<\infty,\ a_i>0\ra \prod_{i=1}^n a_i\leq \sum_{i=1}^n \frac{a_i^{p_i}}{p_i}, \eex$$ 而 $$\bex 1=u_1^\frac{1}{n}\cdots u_n^\frac{1}{n}\leq \frac{1}{n}u_1+\cdots+\frac{1}{n}u_n. \eex$$ 也就有平均值定理了.