[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.12

设 $0<x_<\pi$, $x_n=\sin x_{n-1}\ (n=2,3,\cdots)$, 证明: 级数 $\dps{\vsm{n} x_n^p}$ 当 $p>2$ 时收敛; 当 $p\leq 2$ 时发散. (吉林大学)

 

证明: 由 $0\leq x_n=\sin x_{n-1}\leq x_{n-1}$ 知 $\sed{x_n}$ 递减有下界, $\dps{\vlm{n}x_n=x_0}$ 存在, 且 $x_0=\sin x_0\ra x_0=0$. 又 $$\beex \bea \vlm{n}n x_n^2&=\vlm{n}\frac{n}{\frac{1}{x_n^2}} =\vlm{n}\frac{(n+1)-n}{\frac{1}{x_{n+1}^2}-\frac{1}{x_n^2}}\\ &=\vlm{n}\frac{x_n^2x_{n+1}^2}{x_n^2-x_{n+1}^2} =\vlm{n}\frac{x_n^2\sin^2x_n}{x_n^2-\sin^2x_n}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin^2x }{x^2-\sin^2x} =\lim_{x\to 0}\frac{x^4}{(x+\sin x)(x-\sin x)}=3, \eea \eeex$$ 我们知 $\dps{x_n^p\sim \sex{\frac{3}{n}}^\frac{p}{2}}$, 而当且仅当 $p>2$ 时, $\dps{\vsm{n}x_n^p}$ 才收敛.