文本比较算法：Needleman/Wunsch算法

本文介绍基于最长公共子序列的文本比较算法——Needleman/Wunsch算法。还是以实例说明：字符串A=kitten，字符串B=sitting那他们的最长公共子序列为ittn（注：最长公共子序列不需要连续出现，但一定是出现的顺序一致），最长公共子序列长度为4。

和LD算法类似，Needleman/Wunsch算法用的都是动态规划的思想，两者十分相似。

举例说明：A=GGATCGA，B=GAATTCAGTTA，计算LCS(A,B)。

第一步：初始化动态转移矩阵

Needleman/Wunsch算法矩阵

		G	A	A	T	T	C	A	G	T	T	A
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
G	0
G	0
A	0
T	0
C	0
G	0
A	0

第二步：计算矩阵的第一行

Needleman/Wunsch算法矩阵

		G	A	A	T	T	C	A	G	T	T	A
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
G	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
G	0
A	0
T	0
C	0
G	0
A	0

第三步：计算矩阵的其余各行

Needleman/Wunsch算法矩阵

		G	A	A	T	T	C	A	G	T	T	A
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
G	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
G	0	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2
A	0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
T	0	1	2	2	3	3	3	3	3	3	3	3
C	0	1	2	2	3	3	4	4	4	4	4	4
G	0	1	2	2	3	3	3	4	5	5	5	5
A	0	1	2	3	3	3	3	4	5	5	5	6

则，LCS(A,B)=LCS(7,11)=6

状态转移方程是：若A(i)=B(j)，LCS(i,j)=LCS(i-1,j-1)+1；否则LCS(i,j)=max(LCS(i-1,j-1),LCS(i,j-1),LCS(i-1,j))=max(LCS(i,j-1),LCS(i-1,j))。程序实现：

/*
 *侯凯,2014-9-15
 *功能：最长子序列
 */
#include<iostream>
using namespace std;

int CalTheDistance(string A,string B)
{
    int **ptr = new int*[ A.size()+ 1];
    for(int i = 0; i < A.size() + 1 ;i++)
    {
        ptr[i] = new int[B.size() + 1];
    }

    for(int i=0;i<A.size()+1;i++)
    {
        ptr[i][0] = 0;
    }
    for(int i=0;i<B.size()+1;i++)
    {
        ptr[0][i] = 0;
    }
    for(int i=0;i<A.size();i++)
    {
        for(int j=0;j<B.size();j++)
        {
            if(A[i]==B[j])
                ptr[i+1][j+1]=ptr[i][j]+1;
            else
                ptr[i+1][j+1]=max(ptr[i+1][j],ptr[i][j+1]);
        }
    }
    int result = ptr[A.size()][B.size()];
    for(int i = 0; i < A.size() + 1 ;i++)
    {
        delete [] ptr[i];
        ptr[i] = NULL;
    }
    delete[] ptr;
    ptr = NULL;
    return result;
}

int main()
{
    string str1 = "GGATCGA";
    string str2 = "GAATTCAGTTA";
    //最长子序列为6
    int distance = CalTheDistance(str1,str2);
    cout<<distance<<endl;
    system("Pause");
}

以上面为例A=GGATCGA，B=GAATTCAGTTA，LCS(A,B)=6

他们的匹配为：

A：GGA_TC_G__A

B：GAATTCAGTTA

如上面所示，蓝色表示完全匹配，黑色表示编辑操作，_表示插入字符或者是删除字符操作。如上面所示，蓝色字符有6个，表示最长公共子串长度为6。

利用上面的Needleman/Wunsch算法矩阵，通过回溯，能找到匹配字串

第一步：定位在矩阵的右下角

Needleman/Wunsch算法矩阵

		G	A	A	T	T	C	A	G	T	T	A
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
G	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
G	0	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2
A	0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
T	0	1	2	2	3	3	3	3	3	3	3	3
C	0	1	2	2	3	3	4	4	4	4	4	4
G	0	1	2	2	3	3	3	4	5	5	5	5
A	0	1	2	3	3	3	3	4	5	5	5	6

第二步：回溯单元格，至矩阵的左上角

若a_i=b_j，则回溯到左上角单元格

Needleman/Wunsch算法矩阵

		G	A	A	T	T	C	A	G	T	T	A
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
G	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
G	0	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2
A	0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
T	0	1	2	2	3	3	3	3	3	3	3	3
C	0	1	2	2	3	3	4	4	4	4	4	4
G	0	1	2	2	3	3	3	4	5	5	5	5
A	0	1	2	3	3	3	3	4	5	5	5	6

若a_i≠b_j，回溯到左上角、上边、左边中值最大的单元格，若有相同最大值的单元格，优先级按照左上角、上边、左边的顺序

Needleman/Wunsch算法矩阵

		G	A	A	T	T	C	A	G	T	T	A
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
G	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
G	0	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2
A	0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
T	0	1	2	2	3	3	3	3	3	3	3	3
C	0	1	2	2	3	3	4	4	4	4	4	4
G	0	1	2	2	3	3	3	4	5	5	5	5
A	0	1	2	3	3	3	3	4	5	5	5	6

若当前单元格是在矩阵的第一行，则回溯至左边的单元格；若当前单元格是在矩阵的第一列，则回溯至上边的单元格

Needleman/Wunsch算法矩阵

		G	A	A	T	T	C	A	G	T	T	A
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
G	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
G	0	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2
A	0	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
T	0	1	2	2	3	3	3	3	3	3	3	3
C	0	1	2	2	3	3	4	4	4	4	4	4
G	0	1	2	2	3	3	3	4	5	5	5	5
A	0	1	2	3	3	3	3	4	5	5	5	6

依照上面的回溯法则，回溯到矩阵的左上角

第三步：根据回溯路径，写出匹配字串

若回溯到左上角单元格，将a_i添加到匹配字串A，将b_j添加到匹配字串B

若回溯到上边单元格，将a_i添加到匹配字串A，将_添加到匹配字串B

若回溯到左边单元格，将_添加到匹配字串A，将b_j添加到匹配字串B

搜索晚整个匹配路径，匹配字串也就完成了

可以看出，LD算法和Needleman/Wunsch算法的回溯路径是一样的。这样找到的匹配字串也是一样的。