[詹兴致矩阵论习题参考解答]习题3.2

2. 设 $A\in M_n$, $B\in M_{r,t}$ 是 $A$ 的一个子矩阵. 则它们的奇异值满足 $$\bex s_j(B)\leq s_j(A),\quad j=1,\cdots,\min\sed{r,t}. \eex$$

 

 

证明: 不妨设 $r\geq t$, 而 $B^*B$ 的特征值的非负平方根为 $B$ 的奇异值. 由于置换相似不改变奇异值, 不妨设 $$\bex A=\sex{\ba{cc} B&C\\ D&E\ea}, \eex$$ 而 $$\bex A^*A=\sex{\ba{cc} B^*B+D^*D&*\\ *&*\ea}. \eex$$ 由 Weyl 单调性原理, $$\bee\label{3_2_BD} \lm_j(B^*B)\leq \lm_j(B^*B+D^*D). \eee$$ 又对 $x\in\bbC^t$, 记 $\dps{\tilde x=\sex{x\atop 0}\in \bbC^n}$, 有 $$\bex x^*(B^*B+D^*D)x=\tilde x^*A^*A\tilde x, \eex$$ $$\bee\label{3_2_BDE} \bea \lm_j(B^*B+D^*D) &=\min_{x\in S\atop \sen{x}=1} x^*(B^*B+D^*D)x\quad\sex{\exists\ S\subset \bbC^t,\ \dim S=j}\\ &=\min_{\tilde x\in S\atop \sen{\tilde x}=1} \tilde x^*A^*A\tilde x\\ &\leq \max_{T\subset \bbC^n\atop \dim T=j} \min_{y\in T\atop \sen{y}=1} y^*A^*Ay\\ &=\lm_j(A^*A). \eea \eee$$ 综合 \eqref{3_2_BD}, \eqref{3_2_BDE}, 我们有 $$\bex \lm_j(B^*B)\leq \lm_j(A^*A),\quad 1\leq j\leq t. \eex$$ 开方后有即有结论.