[偏微分方程教程习题参考解答]1.1方程的导出及定解问题的提法

 

 

1. 指出下列方程的阶并判断它是线性的, 还是非线性的, 如果是线性的, 说明它是齐次的, 还是非齐次的.

 

(1). $u_t-(u_{xx}+u_{yy})+1=0.$

 

解答: 这是二阶线性非齐次方程.

 

(2). $u_t-u_{xx}+xu=0$.

 

解答: 这是二阶线性齐次方程.

 

(3). $u_t-u_{xxt}+uu_x=0$.

 

解答: 这是三阶半线性方程.

 

(4). $u_x^2+uu_y=0$.

 

解答: 这是一阶完全非线性方程.

 

(5). $u_{tt}-u_{xx}+t^2+x^2=0$.

 

解答: 这是二阶线性齐次方程.

 

(6). $u_x+e^y u_y=0$.

 

解答: 这是一阶线性齐次方程.

 

(7). $u_t+u_{xxxx}+\sqrt{1+u}=0$.

 

解答: 这是四阶拟线性方程.

 

(8). $u_x(1+u_x^2)^{-\frac{1}{2}}+u_y(1+u_y^2)^{-\frac{1}{2}}=0$.

 

解答: 这是一阶非线性方程.

 

(9). $\dps{\frac{\p^4u}{\p x^4} +2\frac{\p^4u}{\p x^2\p y^2} +\frac{\p^4u}{\p y^4}=0}$.

 

解答: 这是四阶线性齐次方程.

 

(10). $\dps{\frac{\p^3u}{\p x^3} +\frac{\p^3u}{\p x\p y^2}+\ln u=0}$.

 

解答: 这是三阶拟线性方程.

 

2. 设 $f(x)$ 和 $g(y)$ 是任意的二次连续可微函数, 验证函数 $u=f(x)g(y)$ 满足方程 $$\bex uu_{xy}-u_xu_y=0. \eex$$

 

证明: 由 $$\bex u_x=f'(x)g(y),\quad u_y=f(x)g'(y),\quad u_{xy}=f'(x)g'(y) \eex$$ 即知结论.

 

3. 验证函数 $\dps{u(x,y)=\frac{1}{6}x^3y^2+x^2+\sin x+\cos y-\frac{1}{3}y^2+4}$ 是方程 $$\bex \frac{\p^2u}{\p x\p y}=x^2y \eex$$ 的解.

 

解答: 注意到 $$\bex \frac{\p^2}{\p x\p y}\sex{\frac{1}{6}x^3y^2} =x^2y \eex$$ 即知结论.

 

4. 验证函数 $u(x,y)=x^2-y^2$ 和 $u(x,y)=e^x\sin y$ 都是方程 $u_{xx}+u_{yy}=0$ 的解.

 

解答: 直接代入验证即有之.

 

5. 验证函数 $$\bex u(x,y,z,t)=\frac{1}{\sqrt{a^2t^2-(x-\xi)^2-(y-\eta)^2}} \eex$$ 在区域 $\Omega=\sed{(x,y,z,t);(x-\xi)^2+(y-\eta)^2<a^2t^2}$ 内满足方程 $$\bex u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy}), \eex$$ 其中 $a$ 为正常数, $\xi,\eta$ 为任意实数.

 

证明: 不失一般性, 可设 $a=\xi=\eta=0$. 而 $$\bex u=\frac{1}{\sqrt{t^2-x^2-y^2}}. \eex$$ 直接计算有之.