[偏微分方程教程习题参考解答]3.2二阶方程的分类

 

 

1. 将下列方程分类, 并化成标准型:

 

(1). $\dps{u_{xx}+yu_{yy}+\frac{1}{2}u_y=0}$.

 

解答: $a=1$, $b=0$, $c=y$, 而 $\lap=-y$. 若 $y<0$, 则方程为双曲型. 特征方程 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=\pm\sqrt{-y}\ra x\pm2\sqrt{-y}=C. \eex$$ 作自变量变换 $$\bex \xi=x+2\sqrt{-y},\quad \eta=x-2\sqrt{-y}, \eex$$ 则方程化为双曲型第一标准型 $$\bex u_{\xi\eta}=0. \eex$$ 另外, 作变量替换 $$\bex \xi=x,\quad \eta=2\sqrt{-y}, \eex$$ 则方程化为双曲型第二标准型 $$\bex u_{\xi\xi}-u_{\eta\eta}=0. \eex$$ 若 $y=0$, 则方程为抛物型, 其标准型为 $$\bex u_{xx}=-\frac{1}{2}u_y. \eex$$ 若 $y>0$, 则方程为椭圆型. 特征方程 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=\pm \sqrt{y}i\ra ix\pm 2\sqrt{y}=C. \eex$$ 作变量替换 $$\bex \xi=x,\quad \eta=2\sqrt{y}, \eex$$ 则方程化为标准型 $$\bex u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta}=0. \eex$$

 

(2). $y^2u_{xx}-x^2u_{yy}=0$ ($x>0$, $y>0$).

 

解答: $a=y^2$, $b=0$, $c=-x^2$, 而 $\lap=x^2y^2>0$. 方程为双曲型. 特征方程 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=\pm \frac{x}{y}\ra x^2\pm y^2=C. \eex$$ 作自变量变换 $$\bex \xi=x^2+y^2,\quad \eta=x^2-y^2, \eex$$ 则方程化为双曲型第一标准型 $$\bex u_{\xi\eta}=\frac{\eta u_\xi-\xi u_\eta}{2(\xi^2-\eta^2)}. \eex$$ 另外, 作变量替换 $$\bex \xi=x^2,\quad \eta=y^2, \eex$$ 则方程化为双曲型第二标准型 $$\bex u_{\xi\xi}-u_{\eta\eta}=u_{\xi}-\frac{\eta}{\xi}u_\eta. \eex$$

 

(3). $y^2u_{xx}+x^2u_{yy}=0$ ($x>0, y>0$).

 

解答: $a=y^2$, $b=0$, $c=x^2$, 而 $\lap=-x^2y^2<0$, 方程为椭圆型. 特征方程 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=\pm \frac{x}{y}i\ra x^2\pm iy^2=C. \eex$$ 作自变量变换 $$\bex \xi=x^2,\quad \eta=y^2, \eex$$ 则方程化为标准型 $$\bex u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta}=-\frac{\eta}{\xi} u_{\xi}-u_{\eta}. \eex$$

 

(4). $u_{xx}-2\cos x u_{xy}-(3+\sin^2x)u_{yy}-yu_y=0$.

 

解答: $a=1$, $b=-\cos x$, $c=-(3+\sin^2x)$, 而 $\lap=4>0$, 方程为双曲型. 特征方程 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=-\cos x\pm 2\ra y+\sin x\pm 2x=C. \eex$$ 作自变量变换 $$\bex \xi=y+\sin x+2x,\quad \eta=y+\sin x-2x, \eex$$ 则方程化为双曲型第一标准型 $$\bex u_{\xi\eta}=-\frac{y+\sin x}{16}(u_\xi+u_\eta). \eex$$ 另外, 作自变量变换 $$\bex \xi=y+\sin x,\quad \eta=2x, \eex$$ 则方程化为双曲型第二标准型 $$\bex u_{\xi\xi}-u_{\eta\eta}=-\frac{1}{4} (yu_\xi+\sin xu_\eta). \eex$$

 

(5). $\sin^2x u_{xx}-2y \sin xu_{xy}+y^2u_{yy}=0$.

 

解答: $a=\sin^2x$, $b=-y\sin x$, $c=y^2$, 而 $\lap=0$, 方程为抛物型. 特征方程 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=-\frac{y}{\sin x}\ra y\tan \frac{x}{2}=C. \eex$$ 作自变量变换 $$\bex \xi=y\tan \frac{x}{2},\quad \eta =y, \eex$$ 则方程化为标准型 $$\bex u_{\eta\eta}=\frac{2\xi}{\xi^2+\eta^2}u_\xi. \eex$$

 

(6). $u_{xx}+xyu_{yy}=0$.

 

解答: $a=1$, $b=0$, $c=xy$, 而 $\lap =-xy$. 若 $xy>0$, 则方程为椭圆型. 特征方程 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=\pm \sqrt{xy}i\ra 3y^\frac{1}{2}\pm x^\frac{3}{2}i=C. \eex$$ 作自变量变换 $$\bex \xi=3y^\frac{1}{2},\quad \eta=x^\frac{3}{2}, \eex$$ 则方程化为标准型 $$\bex u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta} =\frac{u_{\xi}}{\xi}-\frac{u_{\eta}}{3\eta}. \eex$$ 若 $xy<0$, 则方程为双曲型. 当 $x>0$, $y<0$ 时, 特征方程 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=\pm \sqrt{x(-y)}\ra 3(-y)^\frac{1}{2}\pm x^\frac{3}{2}=C. \eex$$ 作自变量变换 $$\bex \xi=3(-y)^\frac{1}{2}+x^\frac{3}{2},\quad \eta=3(-y)^\frac{1}{2}-x^\frac{3}{2}, \eex$$ 则方程化为双曲型第一标准型 $$\bex u_{\xi\eta}=\frac{u_\xi-u_\eta}{6(\xi-\eta)}+\frac{u_\xi+u_\eta}{2(\xi+\eta)}. \eex$$ 另外, 作自变量变换 $$\bex \xi=3(-y)^\frac{1}{2},\quad \eta=x^\frac{3}{2}, \eex$$ 则方程化为双曲型第二标准型 $$\bex u_{\xi\xi}-u_{\eta\eta} =\frac{u_\xi}{\xi}+\frac{u_{\eta}}{3\eta}. \eex$$ 当 $x<0$, $y>0$ 时, 特征方程 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=\pm \sqrt{(-x)y}\ra 3y^\frac{1}{2}\pm(-x)^\frac{3}{2}=C. \eex$$ 作自变量变换 $$\bex \xi=3y^\frac{1}{2}+(-x)^\frac{3}{2},\quad \eta=3^\frac{1}{2}-(-x)^\frac{3}{2}, \eex$$ 则方程化为双曲型第一标准型 $$\bex u_{\xi\eta}=\frac{u_\xi-u_\eta}{6(\xi-\eta)}+\frac{u_\xi+u_\eta}{2(\xi+\eta)}. \eex$$ 另外, 作自变量变换 $$\bex \xi=3y^\frac{1}{2},\quad \eta=(-x)^\frac{3}{2}, \eex$$ 则方程化为双曲型第二标准型 $$\bex u_{\xi\xi}-u_{\eta\eta} =\frac{u_\xi}{\xi}+\frac{u_{\eta}}{3\eta}. \eex$$ 若 $xy=0$, 则方程为抛物型, 方程本身 $u_{xx}=0$ 即为标准型.

 

(7). $y^mu_{xx}+u_{yy}+au_x+bu_y+cu=0$, $m$ 为正常数.

 

解答: $a=y^m$, $b=0$, $c=1$, 而 $\lap=-y^m$. 若 $y^m>0$, 则方程为椭圆型. 特征方程 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=\pm \frac{1}{y^\frac{m}{2}}i\ra 2y^{\frac{m}{2}+1}\pm (m+2)xi=C. \eex$$ 作自变量变换 $$\bex \xi =2y^{\frac{m}{2}+1},\quad \eta=(m+2)x, \eex$$ 则方程化为标准型 $$\bex u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta} =-\frac{1}{4}\sed{ \frac{2a}{\sex{\frac{\xi}{2}}^\frac{2}{m+2}}u_\eta +\frac{2}{\xi} \sez{m+2b\sex{\frac{\xi}{2}}^\frac{2}{m+2}}u_\xi }-\frac{c}{2(m+2)\sex{\frac{\xi}{2}}^\frac{2m}{m+2}}u. \eex$$ 若 $y^m<0$, 则方程为双曲型. 特征方程 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=\pm(-y^m)^{-\frac{1}{2}}\ra \frac{2}{m+2}(-y^{m+2})^\frac{1}{2}\pm x=C. \eex$$ 通过自变量变换 $\cdots$, 太复杂了...不算啦. 若 $y^m=0$, 则 $y=0$, 而方程本身已是抛物型的标准型.

 

(8). $y^2u_{xx}-e^{\sqrt{2x}}x u_{yy}+u_x=0$, $x>0$.

 

解答: 按照前面的方法即可看出当 $y=0$ 时, 方程为抛物型; 当 $y\neq 0$ 时, 方程为双曲型. 如何化成标准型你也可以自己做出来...哦哦.

 

2. 讨论下列方程属于哪一种类型, 并化成标准型:

 

(1). $u_{xx}+2u_{xy}+2u_{yy} +2u_{yz}+2u_{zz}+u_x+u_y=0$.

 

解答: 特征二次型的矩阵 $$\bex A=\sex{\ba{ccc} 1&1&0\\ 1&2&1\\ 0&1&2 \ea}, \eex$$ 则令 $$\bex B=\sex{\ba{ccc} 1&-1&1\\ 0&1&-1\\ 0&0&1 \ea} \eex$$ 后 $$\bex B^TAB=\sex{\ba{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \ea}. \eex$$ 故经过自变量变换 $$\bex \sex{\ba{ccc} \xi\\ \eta\\ \zeta \ea}=\sex{\ba{ccc} 1&0&0\\ -1&1&0\\ 1&-1&1 \ea}\sex{\ba{ccc} x\\ y\\ z \ea} \eex$$ 后方程化为标准型 $$\bex u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta}+u_{\zeta\zeta}+u_\xi-u_\eta+2u_{\zeta}=0. \eex$$

 

(2). $u_{xx}+2u_{xy} +2u_{yy} +4u_{yz} +5u_{zz} +3u_x+u_y=0$.

 

解答: 方法同上, 此处从略.

 

(3). $u_{xx}+2u_{yy}+3u_{zz}+u_{xy}+u_{yz}+u_{xz}-u_x=0$.

 

解答: 方法同上, 此处从略.

 

(4). $u_{x_1x_1}+2\sum_{k=2}^n u_{x_k}u_{x_kx_k} -2\sum_{k=1}^p u_{x_kx_{k+1}}=0$, $p=n-1$ 或 $n$.

 

解答: 高阶的, 半线性的了.

 

(5). $u_{x_1x_1}-2\sum_{k=2}^n (-1)^k u_{x_{k-1}x_k}=0$.

 

解答: 高阶的了.

 

3. 证明可将方程 $$\bex \frac{\p}{\p x} \sez{\sex{1-\frac{x}{h}}^2 u_x} =\frac{1}{a^2}\sex{1-\frac{x}{h}}^2u_{tt} \eex$$ 化成形式 $$\bex V_{tt}=a^2V_{xx}. \eex$$

 

证明: 令 $V=(h-x)u$, 则 $$\bex V_{tt}=(h-x)u_{tt},\quad V_x=-u+(h-x)u_x,\quad V_{xx}=(h-x)u_{xx}-2u_x. \eex$$ 于是 $$\beex \bea \frac{\p}{\p x} \sez{\sex{1-\frac{x}{h}}^2 u_x} &=\frac{1}{h^2}\frac{\p}{\p x}\sez{(h-x)^2u_x}\\ &=\frac{1}{h^2}\sez{2(h-x)(-1)u_x+(h-x)^2u_{xx}}\\ &=\frac{h-x}{h^2}\sez{(h-x)u_{xx}-2u_x}\\ &=\frac{h-x}{h^2}V_{xx},\\ \frac{1}{a^2}\sex{1-\frac{x}{h}}^2u_{tt} &=\frac{1}{a^2}\frac{h-x}{h^2}V_{tt}. \eea \eeex$$ 故有结论.

 

4. 设 $\lm$ 是参数, 试讨论方程 $$\bex (\lm+\mu) u_{xx}+2xyu_{xy}-y^2u_{yy}=0 \eex$$ 的类型, 并指出它们对 $\lm$ 的依赖关系.

 

解答: $a=\lm+x$, $b=xy$, $c=-y^2$, 而 $$\bex \lap=b^2-ac=(x^2+x+\lm)y^2. \eex$$ 故若 $y=0$, 则方程为抛物型. 若 $y\neq 0$, 当 $\lm>1/4$ 时, $\lap>0$, 方程为双曲型. 当 $\lm=1/4$ 时, 除 $x=-1/2$ 时, 其余的 $x$ 处, $\lap>0$, 而方程为退化双曲型. 当 $\lm<1/4$ 时, $$\bex \frac{-1-\sqrt{1-4\lm}}{2}<x<\frac{-1+\sqrt{1-4\lm}}{2}\ra \lap<0\ra \mbox{方程为椭圆型}; \eex$$ $$\bex x<\frac{-1-\sqrt{1-4\lm}}{2}\mbox{ 或 }x>\frac{-1+\sqrt{1-4\lm}}{2}\ra \lap>0\ra \mbox{方程为双曲型}. \eex$$

 

5. 证明在可逆自变量变换 $$\bex \sex{\ba{c} y_1\\ \vdots\\ y_n \ea}=B^T\sex{\ba{c} x_1\\ \vdots\\ x_n \ea} \eex$$ 下, $\dps{\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\frac{\p ^2u}{\p x_i\p x_j}}$ 可化成 $$\bex \sum_{i,j=1}^n c_{ij}\frac{\p^2u}{\p y_i\p y_j}, \eex$$ 其中 $B=(b_{ij})_{n\times n}$, $A=(a_{ij})_{n\times n}\ (a_{ij}=a_{ji})$ 是常数矩阵, 且 $C=(c_{ij})_{n\times n}=B^TAB$.

 

证明: 由题意, $$\bex y_i=\sum_j b_{ji}x_j, \eex$$ 而 $$\bex u_{x_k}=\sum_i u_{y_i}\frac{\p y_i}{\p x_k} =\sum_i u_{y_i} b_{ki},\quad u_{x_kx_l}=\sum_{i,j}u_{y_iy_j}b_{ki}b_{lj}. \eex$$ 故 $$\bex \sum_{i,j}a_{ij}u_{x_ix_j} =\sum_{k,l}\sum_{i,j}u_{y_iy_j}b_{ki}b_{lj} =\sum_{i,j} \sex{ \sum_{k,l}b_{ki}a_{kl}b_{lj} }u_{y_iy_j}. \eex$$