[偏微分方程教程习题参考解答]3.3一阶方程组的特征及分类

 

 

1. 判别方程组 $$\bex \sedd{\ba{ll} u_t=a(x,t)u_x-b(x,t)v_x+c_1(x,t)\\ v_t=b(x,t)u_x+a(x,t)v_x+c_2(x,t) \ea} \eex$$ 属哪种类型.

 

解答: 对应的 $A=(a_{ij})$ 为 $$\bex A=\sex{\ba{cc} -a&b\\-b&-a \ea}\ra |\lm E-A|=(\lm +a)^2+b^2>0, \eex$$ 而 $A$ 没有实特征值, 原方程组是椭圆型.

 

2. 判定下列一阶方程组 $$\bex \sedd{\ba{ll} \cfrac{\p u}{\p t} +a_{11}\cfrac{\p u}{\p x} +a_{12}\cfrac{\p v}{\p x}=0,\\ \cfrac{\p v}{\p t} +a_{21}\cfrac{\p u}{\p x}+a_{22}\cfrac{\p v}{\p x}=0 \ea} \eex$$ 的类型, 其中 $a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}$ 为常数.

 

解答: 同第一题, 可以算出 $$\bex A=\sex{\ba{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \ea}. \eex$$ 故若 $A$ 无实特征值, 则方程为椭圆型; 若 $A$ 有实特征值, 且存在相应的两个线性无关的特征向量, 则方程为双曲型, 更进一步, 如果 $A$ 的实特征值互异, 则方程为严格双曲型.

 

3. 证明声学方程组 $$\bex \sedd{\ba{ll} \cfrac{\p \rho}{\p t} +\rho_0\sum_{i=1}^3 \cfrac{\p v_i}{\p x_i}=0,\\ \cfrac{\p v_k}{\p t} +\cfrac{p'(\rho_0)}{\rho_0}\cfrac{\p \rho}{\p x_k}=0,\ k=1,2,3 \ea} \eex$$ 是双曲型方程组, 其中 $\rho_0>0$, $p'(\rho)>0$ 均为常数.

 

解答: 把 $t$ 看成第四个自变量, 把 $\rho$ 看成第四个因变量, $$\bex \sedd{\ba{ll} \cfrac{p'(\rho_0)}{\rho_0}\cfrac{\p \rho}{\p x_k} +\cfrac{\p v_k}{\p t}=0,\ k=1,2,3\\ \rho_0\sum_{i=1}^3 \cfrac{\p v_i}{\p x_i}+\cfrac{\p \rho}{\p t} =0. \ea} \eex$$ 于是 $$\bex \varPhi(\al_1,\cdots,\al_4)=\sev{\ba{cccc} \al_4&&&\frac{p'(\rho_0)}{\rho_0} \al_1\\ &\al_4&&\frac{p'(\rho_0)}{\rho_0}\al_2\\ &&\al_4&\frac{p'(\rho_0)}{\rho_0}\al_3\\ \rho_0\al_1&\rho_0\al_2&\rho_0\al_3&\al_4 \ea} =\al_4^2[\al_4^2-p'(\rho_0)(\al_1^2+\al_2^2+\al_3^2)]. \eex$$ 这样, 给定了 $\al_1,\al_2,\al_3$, 上述关于 $\al_4$ 的多项式有 $4$ 个实根, 而方程是双曲型的.