DFT计算线性卷积——重叠保留法

DFT计算线性卷积——重叠保留法

引入

设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别为N和M。它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：

yc(n)=h(n)∗x(n)=∑m=0N−1h(m)x(n−m)

yl(n)=h(n)Ⓛx(n)=[∑m=0L−1h(m)x((n−m))L]RL(n)

其中 L≥max[N,M] ， x((n))L=∑∞i=−∞x(n+iL)

只有当循环卷积长度 L≥N+M−1 时，线性卷积等于循环卷积
即

yc(n)=[∑i=−∞∞yl(n+iL)]RL(n)

否则时域混叠

重叠保留法

所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段 (设长度为M)，但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与h(n) (设长度为N) 的L(L≥M)点循环卷积，得到输出序列 ym(n) ,m表示第m段的循环卷积计算输出。最后，从 ym(n) 中选取B个样值顺序连接得到 y(n) 。
其中 V=N-1，B=M-V=M-N+1，B应取 ym(n) 中第V+1 ~ V+B共计B个样值，若记n=0,1,……,M-1，则B的取值为n=N-1,N,……,M-1时的 ym(n) 的值。

由线性卷积的定义可以看出，当计算 n=n0 时的线性卷积时，与 x(n0) 及其前N-1个值有关。所以计算 h(n)∗xm(n) 时，结果(共N+M-1个数值)的前N-1个值与后N-1个值是有误的，只有中间的M-N-1个值是正确的，即是应当选取的B个样值。因为计算 h(n)∗xm(n) 时，n<0及n>M-1时认为 xm(n)=0 ，而实际 xm(n) 的前面 xm−1(n) 与后面 xm+1(n) 是不一定为零的。故对输入序列进行分段时，相邻两段必须重叠V个点，有误点的卷积值要再次计算。

实际中计算机计算循环卷积要快于线性卷积，当L=M时， ym(n)=h(n)Ⓛxm(n) ， yml(n)=h(n)∗xm(n) ，由线性卷积与循环卷积的关系式可以看出 yml(n) 在做以L为周期的延拓时相邻两次延拓重叠了N-1个点，即L点循环卷积的结果（长度为M）与线性卷积结果（长度为N+M-1，取前M项比较）相比，前N-1个值有误（混叠），后M-（N-1）个值相等。恰好与实际相比 yml(n) 结果的前N-1项也是有误的（见上一段分析），故循环卷积与直接计算线性卷积的分析结果一致，都舍去前N-1个值而保留接下来的M-（N-1）个值。

当取L>M时， yml(n) 在做以L为周期的延拓时相邻两次延拓重叠小于N-1个点，但由于受限仍然应舍去前N-1个值而保留接下来的M-（N-1）个值。原因见直接计算线性卷积的分析。

注

Ⓛ：代表L点循环卷积
* ：代表线性卷积

部分内容参考《数字信号处理（第三版）》高西全，丁玉美编著
ISBN 978-7-5606-0922-5/TN•0160
博主学习时的一点见解，欢迎斧正。