关键路径在算法题中的应用

1、AOV和AOE网

AOV是指的用顶点（Vertex）表示活动，用边集表示活动间优先顺序的有向图，图中不会有环。

AOE是指用带权的边集（Edge）表示活动，用顶点表示事件的有向图，边权表示 完成活动所需要的时间。AOE网表示一个工程的进行过程，它也不应该有环，一般来说它只有一个源点（入度为零）和一个汇入点（初度为零），其实AOV网也可以转换为AOE网。

AOE网着重解决的问题有：①工程从开始到结束需要多少时间②工程中哪些分工程是影响全局的。一般来说 第二个问题会转换到最长路径。

2、最长路径

和我们在之前看过的最短路径不同，最长路径，一般代表的是那种不能拖延的工程，如何求最长路径呢？

将所有权值变负，然后用FORD算法算出最小的那个，然后再变正就是了。

3、关键路径

AOE网实际上属于有向无环图，下面给出一个求解有向无环图中最长路径的方法

首先设置两组数组，e和l，第一个表示最早开始的时间，第二个表示最迟开始的时间，如果e==l，则说明这个活动是不能拖延的 ，即为我们所求的关键路径。然后问题来了，怎么求e和l呢？

事件v1在经过活动a之后到达V2，然而是否立即到达顶点V2，也存在拖延的可能性，所以会出现最早发生和 最迟发生两种极端情况，某一个事件最迟发生可以认为下一个事件的最迟开始，设置两个新的数组Ve和Vl，分别表示其最早开始时间和最迟开始时间：

①对于一个活动，在上一个事件最早发生时开始则会得到最早开始时间，e=Ve;

②对于一个事件，他的最迟发生时间就是上个活动最迟开始时间加上路的权值，即 vl=l+w;

然后对于我们的难题就转移到求端点的最早开始和最晚开始时间

假设有k个事件，通过相应的活动到达事件J，假设我们已经得到了每个事件的最早发生时间VE，那么VJ最早发生时间就是各个事件VE+w中的最大值，因为只有所有事件都发生且经过活动到达之后，J才会被激活，所以想要获得VE[J]的正确值，VE[V1]~VE[VK]必须全部都到手 ，通过拓扑排序就可以保证其前驱端点都访问完毕了，但是不可能通过J去拓扑他的前驱端点，因此可以在访问他的前驱端点是，就不断地更新VE[J]。

if（ve[u]+G[u][i].w>ve[j]）
{
        ve[j]=ve[u]+G[u][i].w;
}

同理，若获得VJ，那么1~K的最晚发生时间也可以确定，这时需要保证他的后继结点都已经被访问完

bool topol()//判断是否非环
{
	queueq;
	for(int i=0;ive[j]）
			{
				ve[j]=ve[u]+G[u][i].w;
			}
		}
	}
	if(topOrder.size()!=n) return false;
	else return true;
}
int CriticalPath()
{
	memset(ve,0,sizeof(ve));
	if(topol()==false)
	{
		return -1;
	}
	fill(vl,vl+n,ve[n-1]);
	while(!topOrder.empty())
	{
		int u = topOrder.top;
		topOrder.pop();
		for(int i=0;i%d",u,v);
			}
		}
	}
	return ve[n-1];
}