算法导论第24章：单源最短路径

目录

Bellman-Ford算法

有向有负环图

有向有非负环图（练习24.1-3）

找到负环上的所有结点（练习24.1-6）

DAG中的单源最短路径问题

有向无环图

S到V的路径总数（练习24.2-4）

Dijkstra算法

有向无负权图

Bellman-Ford算法

有向有负环图

算法：对所有E松弛V-1次，若还存在可松弛的结点，说明存在负环

运行时间：O(VE)

证明：每次对所有边松弛，至少松弛了E(S, V)最短路径上的一条边。

有向有非负环图（练习24.1-3）

算法：重复对所有E松弛，直到没有可松弛的E（共松弛m+1次）

运行时间：O(mE)，其中源节点到目标结点的最多边数为m

找到负环上的所有结点（练习24.1-6）

算法：对所有E松弛V-1次，若还存在可松弛的v，对其重复寻找父节点并标记 

DAG中的单源最短路径问题

有向无环图

DP算法：拓扑排序，按拓扑序松弛每一条边

运行时间：O(V+E)

证明：精髓在于“路径松弛定理”

S到V的路径总数（练习24.2-4）

算法：拓扑排序，按拓扑序对S到V的结点做：将此节点的方法数加到他的邻接结点

运行时间：O(V+E)

Dijkstra算法

有向无负权图

算法：每次选取d最小的结点入队，并同时松弛它邻接的边

运行时间：依赖于优先队列的实现方式，数组O(V²)，二叉堆O((V+E)lgV)

证明每次选的结点v已经达到了δ(s,v)：因为再走其它路肯定更远