算法实例：枚举的魅力

两道“奥数题”说说枚举法：
①如何找到一个整数ABCDE（A、B、C、D、E分别为万位、千位、百位、十位、个位，A不为0）乘以A，得到结果为EEEEE。
②A？B？C？D？E = F（A、B、C、D、E、F均为整数），在ABCDE之间填入四个运算符（+、-、*、/四种中随意组合），使得等式成立，求出所有组合。

枚举法本质：从所有的候选答案中去搜索正确的解必须满足条件：
①可以预先确定候选答案的数量
②候选答案的范围在求解之前必须有一个确定的集合
我们根据下面的两个例子可以发现：凡是枚举法基本都具有深层次的嵌套（毕竟是一个一个试）

/* *实例1： * ABCDE * * A * ----------- * EEEEEE * ABCDE可取范围均为0~9，求出所有可能满足以上乘法的结果 */
void find_num(void)
{
    int a, b, c, d, e, num=0, res=0;
        for(a=1; a<10; a++){
            for(b=0; b<10; b++){
                for(c=0; c<10; c++){
                    for(d=0; d<10; d++){
                        for(e=0; e<10; e++){
                            num = a*10000 + b*1000 + c*100 + d*10 +e;
                            res = 111111 * e;
                            if(num * a == res){
                                printf("%d%d%d%d%d\n",a,b,c,d,e);
                                printf("x %d\n",a);
                                printf("------------\n");
                                printf("=%d%d%d%d%d%d\n",e,e,e,e,e,e);
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
}
/* *实例2： *A○B○C○D○E = F *当ABCDEF均为整数时 *如何填入运算符使得等式成立(运算符可以为“+”“-”“*”“/”四种) *注意：在填入除号时，除号运算符右侧的数不能为0 *这里采用的是从左到右的人为控制运算，所以要确保在加减以前，右侧的乘法除法已经运算完毕 */

void find_operator(void)
{
    int j, i[4];//用四个整数来代表第几个(1\2\3\4)运算符
    int sign;//保存符号
    int result;//保存运算式的结果
    int count=0;//计数器，保存符合要求结果的个数
    int num[5];//保存5个操作数
    float left,right;//保存中间计算结果
    char oper[4] = {'+','-','*','/'};

    printf("请输入5个参与运算的数: ");
    for(j=0; j<5; j++){
        scanf("%d",&num[j]);
    }
    printf("请输入运算结果: ");
    scanf("%d",&result);

    for(i[0]=0; i[0]<4; i[0]++){
        //操作符为/""与右操作数为0不同时满足(oper[3]为"/")，
        //如果同时满足则此种情况不符合，不再判断下一个操作符，而是直接回到上层循环测试下一种情况
        if(i[0]!=3 || num[1]!=0){
            for(i[1]=0; i[1]<4; i[1]++){
                if(i[1]!=3 || num[2]!=0){
                    for(i[2]=0; i[2]<4; i[2]++){
                        if(i[2]!=3 || num[3]!=0){
                            for(i[3]=0; i[3]<4; i[3]++){
                                if(i[3]!=3 || num[4]!=0){//四层循环与四个条件判断确定4个操作符
                                    left = 0;//左值初始为0
                                    right = num[0];//右值初始为第一个数
                                    sign = 1;//用来标记加法的右值是正数还是负数(加法减法合并)
                                    for(j=0; j<4; j++){
                                        //oper[i[j]]从循环从开始一次判断四个操作符的类型，最终根据结果判断是否合乎要求
                                        //oper[i[j]]中j是确定位置的，而i[j]是确定具体位置的符号，该符号在上面的四层for与if的嵌套中已经确定了
                                        switch(oper[i[j]]){
                                            case '+':
                                                left += sign * right;//先计算新的左值
                                                sign = 1;//是加法，则右值仍然是正数，sign标记其为+
                                                right = num[j+1];//赋给新的右值
                                                break;
                                            case '-':
                                                left += sign * right;//先计算新的左值
                                                sign = -1;//是减法，则右值为负，sign标记其为-
                                                right = num[j+1];//赋给新的右值
                                                break;
                                            case '*':
                                                right = right * num[j+1];//优先级最高，直接乘
                                                break;
                                            case '/':
                                                right = right / num[j+1];//直接除
                                                break;
                                        }
                                    }
                                    if(left+sign*right == result){//判断等式是否成立，并格式化输出
                                        count++;
                                        printf("%3d:",count);
                                        for(j=0; j<4; j++)
                                            printf("%d%c",num[j],oper[i[j]]);
                                        printf("%d=%d\n",num[4],result);
                                    }
                                }
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    if(count==0)
        printf("没有符合要求的填写方式!\n");
}
int main(void)
{
    find_num();
    find_operator();
    return 0;
}

由于上面两道题，只有在试过以后才能知道这一种情况是否能够达到要求。这时候枚举法就要一个一个去试，虽然循环可能比较深，但是还是算是比较快的，因为每层循环的执行次数较少（一般都在10次以内），即使多层循环也不太影响。

测试1：

第一题优化：
我们看到第一题中，循环执行了上万次，但是最终只有一个结果，其实我们完全可以将思路反转过来想，既然ABCDE*A=EEEEEE，那么也应该满足（EEEEEE/A=ABCDE），那么我们根据EEEEEE每一位都相同的特点得知：可能的结果只有111111~999999（9种），而作为除数的A可能结果只能是1~9（种），因此循环只需要执行9*9=81次，判断得到的商其最高位（万位）是否是A，最低位是否是E，并进行处理。（候选答案数量确定且其集合范围也是确定的故依然属于枚举法）具体代码如下：

void find_num(void)
{
    int num, res, a, e;
    for(e=1; e<10; e++){
        num = e*111111;  //num=111111~999999
        for(a=1; a<10; a++){ v//a=1~9
            res = num / a;
            if(res%10 == e && res/10000 == a){
                printf("%d\n",res);
                printf("x %d\n",a);
                printf("------------\n");
                printf("=%d\n",num);
            }
        }
    }
}

枚举法虽然看起来比较笨拙，但是选好候选答案集合范围可以让枚举法变得相当实用。

测试2：