基于Python的二分法求平方根

基于Python的二分法求平方根

一个程序最核心的就是思想，换个词就是说是“思路”。解决这个问题的思路就是二分法逼近：
对于一个大于0的数，它的平方根是实数，而对于一个小于0的数开平方之后是一个纯虚数，其模等于该数的绝对值开平方。而在正数的这一边对于大于1 的数常用的二分法求平方根的思路是——

    输入：x
    输出：√x
    步骤：
            ①low = 0；high = x；
            ②guess = （low + high） / 2
            ③如果guess² == x，则输出guess，程序结束；
            ④如果guess² < x，则low = guess，继续执行步骤②
            ⑤如果guess² > x，则low = guess，继续执行步骤②

基于以上思路，我们可以选择用条件语句来完成上述③④⑤步：

                    if guess ** 2 < x:
                        low = guess

                    else:
                        high = guess

                    guess = (low + high) / 2

对于guess，由于奇数的存在使得它必须允许小数的存在，因此我们这里为求精确取float型，因而为了方便我们将x的数据类型也定义为浮点型：

x = float(input("请输入一个需要开方的数，且保留2位小数：\n x = "))

这样我们就能便于比较guess²和x的大小关系，常用的比较两个数大小关系的方法就是作差，比较其结果与0的大小关系，为保证精度和准确性，我们用如下代码来控制要不要继续分：

                abs(guess ** 2 - x) > 0.0001

我们在取x==100对程序进行验证，结果如下：

根据以上结果对于大于1的数用二分法求解平方根的代码已经实现了。在这里感谢中国mooc网哈尔滨工业大学车万翔老师的授课。
但对于一个在0到1之间的数，我们知道0到1之间的任何一个数平方后的结果都小于原值（0，1除外），因此如果要沿用上面的程序达不到“逼近”的作用，反而扩大了，因此我对程序①②步作了以下改动：

                    if x > 0 and x < 1:
                        high = 1.0
                        low = 0
                        guess = (low + high) / 2

这样，我们第一次取guess = 0.5，如果0.5² > x，我们下一次就在0~0.5之间取，反之在0.5~1之间取，直到取到符合循环停止条件的结果。举例验证：

到此为止已经解决了所有非负数平方根的求解，当然对于0和1：

                 if x == 1.0 and x == 0.0:
                         guess = x

现在要考虑负数的情况，思路是：

    ①取一个负数记为x_org；
    ②将 （-x_org）赋给x；
    ③x为正，带入前面的运算计算；
    ④输出结果后面加个字符“j”，程序结束。

相关代码如下：

                        if x_org < 0:
                            x = - x_org
                        else:
                            x = x_org

            elif x_org == -1.0:
                print("所求数的平方根为：guess = j" )
            else:
                print("所求数的平方根为：guess = %.1fj" % (guess))

程序验证：

基于此，用Python编写的二分法求平方根的问题已经完全解决了。这也是我编写的第二个基础的程序，还是蛮有收获，增添了我学习python的兴趣。希望这种兴趣能够只增不减。

重点来了：话不多说，直接上代码

    #!/usr/bin/python3

    # 利用二分法求解平方根

    x_org = float(input("请输入一个需要开方的数，且保留2位小数：\n x = "))

    # 判定x_org的正负，负数取反
    if x_org < 0:
        x = - x_org
    else:
        x = x_org
    # 变量的初始化
    ## 程序第①步
    low = 0.0 
    high = x
    ## 程序第②步
    guess = (low + high) / 2

    if x > 0 and x < 1:
        high = 1.0
        low = 0
        guess = (low + high) / 2


    # 二分法求解平方根
    if x >= 0:
        while abs(guess ** 2 - x) > 0.0001:
            if x > 1.0:# 大于1 的数
                 if guess ** 2 < x:
                     low = guess # 如果guess² < x，则low = guess，
                 else:
                     high = guess # 如果guess² > x，则high = guess，
                 guess = (low + high) / 2 # 继续执行

            if x == 1.0 and x == 0.0:# 0 和1 的求解
                 guess = x

            else:
                if guess ** 2 < x: # 在0-1之间的数
                    low = guess
                else:
                    high = guess
                guess = (low + high) / 2

    # 结果输出
    if x_org >= 0:## 非负数输出
        print("所求数的平方根为：guess = %.1f"%(guess))
    ## 负数输出
    elif x_org == -1.0:
        print("所求数的平方根为：guess = j" )
    else:
        print("所求数的平方根为：guess = %.3fj" % (guess))

总结

对于0~1之间小数平方根的求解我还有另外一种思路，只是我尝试了一下不知为何陷入死循环，我把这种思路简单说一下：
对于一个0~1之间的小数，我可以人为输入它的小数位数，比如0.09的小数位数是2，我们就将这个数扩大100倍，变成9，成为一个大于1的数，再利用二分法求平方根，得到结果为3，再将3缩小√100倍，得到0.3，进而得到结果。相关程序代码如下：

        if x > 0 and x < 1:
            n = int(input("请输入被开方的小数位数：\n n = "))
            count = 10**n
            x = x * count
            high = x
            guess = (low + high) / 2
            count_high = count
            count_low = 0
            count_guess = (count_low + count_high) / 2

            while abs(count_guess ** 2 - count) > 0.0001:
                     if count_guess ** 2 < count:
                         count_low = count_guess
                     else:
                         count_high = count_guess
                     count_guess = (count_low + count_high) / 2

            if guess ** 2 < x:
                            low = guess
                        else:
                            high = guess
                        guess = (low + high) / （2*count_guess)

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