牛顿法求解平方根（一种计算机实现开根的方式）

前言

最近看到一个非常有趣的方法，叫做牛顿法，可以用于求解一个数的平方根，当然可以扩展到求实数或复数域。

牛顿法

话不多说直接上图，一目了然。

我们先在一个点$x_n$处做切线，然后这条切线与x轴的交点$x_{n+1}$就是我们下一个做切线的位置。

如果是二次函数的话，是很简单的导数运算，切线方程：$y=f^{\prime }(x_n)(x-x_n)+f(x_n)$，求交点就是把y置为零就可以了。

推导出这个公式------->$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$!!

看图就会发现离真实的解越来越近了，多次迭代就可以得出近似值，是不是很简单？

不过牛顿法还是有限制的：

1. 需要区间内$f^{\prime }(x)$≠0，不然无法求交点
2. 在x求解区间内，$f^{\prime \prime }(x)$是连续的

Go代码

语言大同小异，其实还是比较容易看懂的，就是循环了十次，当然次数越多越逼近啊！

func Sqrt(x float64) float64 {
	z := 1.0
	for i := 1; i <= 10; i++ {
		z -= (z*z - x) / (2*z)
	}
	return z
}

x是目标值，z是目标值的平方根需要被求解。

所求函数是$f(z,x)=z^2-x$，对z求偏导$\frac{\partial f(z,x)}{\partial z}=2z$。

代入$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$就是中间循环的内容z -= (z*z - x) / (2*z)。

参考链接：

1. https://zh.wikipedia.org/wiki/牛顿法