算法总结——大整数乘法

问题描述

求两个不超过200位的非负整数的积。
输入数据
有两行，每行是一个不超过200位的非负整数，没有多余的前导0。
输出要求
一行，即相乘后的结果。结果里不能有多余的前导0，即如果结果是342，那么就不能输出为0342。 
输入样例
12345678900
98765432100
输出样例
1219326311126352690000

解题思路

在下面的例子程序中，用unsigned an1[200]和unsigned an2[200]分别存放两个乘数，用aResult[400]来存放积。计算的中间结果也都存在aResult中。aResult长度取400是因为两个200位的数相乘，积最多会有400位。an1[0], an2[0], aResult[0]都表示个位。
计算的过程基本上和小学生列竖式做乘法相同。为编程方便，并不急于处理进位，而将进位问题留待最后统一处理。
现以 835×49为例来说明程序的计算过程。
先算835×9。5×9得到45个1，3×9得到27个10，8×9得到72个100。由于不急于处理进位，所以835×9算完后，aResult如下：
 
接下来算4×5。此处4×5的结果代表20个10，因此要 aResult[1]+=20，变为：
 

再下来算4×3。此处4×3的结果代表12个100，因此要 aResult[2]+= 12，变为：

最后算 4×8。此处4×8的结果代表 32个1000，因此要 aResult[3]+= 32，变为：

乘法过程完毕。接下来从 aResult[0]开始向高位逐位处理进位问题。aResult[0]留下5，把4加到aResult[1]上，aResult[1]变为51后，应留下1，把5加到aResult[2]上……最终使得aResult里的每个元素都是1位数，结果就算出来了：

 
总结一个规律，即一个数的第i位和另一个数的第j位相乘所得的数，一定是要累加到结果的第i+j位上。这里i, j都是从右往左，从0开始数。

参考程序：

#include 
#include 
#define MAX_LEN 200
unsigned an1[MAX_LEN+10];
unsigned an2[MAX_LEN+10];
unsigned aResult[MAX_LEN * 2 + 10];
char szLine1[MAX_LEN+10];
char szLine2[MAX_LEN+10];
int main()
{
	gets( szLine1); //gets函数读取一行
	gets( szLine2);
	int i, j;
	int nLen1 = strlen( szLine1);
	memset( an1, 0, sizeof(an1));
	memset( an2, 0, sizeof(an2));
	memset( aResult, 0, sizeof(aResult));	
	j = 0;
	for( i = nLen1 - 1;i >= 0 ; i --)
		an1[j++] = szLine1[i] - '0';
	int nLen2 = strlen(szLine2);
	j = 0;
	for( i = nLen2 - 1;i >= 0 ; i --)
		an2[j++] = szLine2[i] - '0';
	
	for( i = 0;i < nLen2; i ++ ) 	{ //每一轮都用an1的一位，去和an2各位相乘
									  //从an1的个位开始
		for( j = 0; j < nLen1; j ++ )  //用选定的an1的那一位，去乘an2的各位 
			aResult[i+j] += an2[i]*an1[j]; //两数第i, j位相乘，累加到结果的第i+j位
	}
	//下面的循环统一处理进位问题
	for( i = 0; i < MAX_LEN * 2; i ++ )	{
		if( aResult[i] >= 10 ) {
			aResult[i+1] += aResult[i] / 10;
			aResult[i] %= 10;
		}
	}
	//下面输出结果
	bool bStartOutput = false;
	for( i = MAX_LEN * 2; i >= 0; i -- )
		if( bStartOutput)
			printf("%d", aResult[i]);
		else if( aResult[i] ) {
			printf("%d", aResult[i]);
			bStartOutput = true;
		}
	if(! bStartOutput )
		printf("0");
	return 0;
}

实现技巧

不一定一出现进位就马上处理，而是等全部结果算完后再统一处理进位，有时会方便些。