推导：从傅里叶级数展开到傅里叶变换

说明：本文主要参考资料为奥本海姆的《信号与系统》（第二版），推导过程中融入了少量个人理解。

假设我们已经知晓了周期信号的傅里叶级数展开，在连续信号条件下，其傅里叶级数对为

x(t)=∑k=−∞+∞akejkω0t=∑k=−∞+∞akejk(2π/T)t(1) (1) x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ω 0 t = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ( 2 π / T ) t

ak=1T∫Tx(t)e−jkω0tdt=1T∫Tx(t)e−jk(2π/T)tdt(2) (2) a k = 1 T ∫ T x ( t ) e − j k ω 0 t d t = 1 T ∫ T x ( t ) e − j k ( 2 π / T ) t d t

其中，公式(1)为综合公式，它描述如何将原始信号 x(t)​ x ( t ) ​ 分解，公式(2)为分析公式， ak​ a k ​ 表示信号 x(t)​ x ( t ) ​ 的傅里叶系数（也称为频谱系数），其物理意义是原始信号 x(t)​ x ( t ) ​ 分解出来的每一个谐波分量强度的度量，其中当 k=0​ k = 0 ​ 时，即 a0​ a 0 ​ 就是原始信号 x(t)​ x ( t ) ​ 的直流分量（也称为常数分量）。

类似地，在离散信号条件下，其傅里叶级数对为

x[n]=∑k=⟨N⟩akejkω0n=∑k=⟨N⟩akejk(2π/N)n(3) (3) x [ n ] = ∑ k = ⟨ N ⟩ a k e j k ω 0 n = ∑ k = ⟨ N ⟩ a k e j k ( 2 π / N ) n

ak=1N∑n=⟨N⟩x[n]e−jkω0n=1N∑n=⟨N⟩x[n]e−jk(2π/N)n(4) (4) a k = 1 N ∑ n = ⟨ N ⟩ x [ n ] e − j k ω 0 n = 1 N ∑ n = ⟨ N ⟩ x [ n ] e − j k ( 2 π / N ) n

其中，公式(3)为综合公式，公式(4)为分析公式，其物理意义与上述连续信号类似。

现在我们需要将其表示傅里叶展开的手法推广到非周期信号，首先引入基本思想：

非周期信号，可以被想象成周期无穷大的周期信号。对于周期信号而言，它的周期越大，那么它的基波频率 ω0=2π/T ω 0 = 2 π / T 就越小，同时分解出来的各个频率分量之间的“距离”也越近，这是因为频谱图频率轴上样本的间隔为 2π/T 2 π / T （因为在周期复指数信号 e jω0t e   j ω 0 t 中 ω0 ω 0 表示频率，相应地这里 k(2π/T) k ( 2 π / T ) 为频率， k k 为整数，因此间隔为 2π/T 2 π / T ），它随着周期的增大而变小。这样，在周期趋近于无穷大时，这些频率轴上的样本会越来越密，傅里叶展开由原来的许多项进行离散求和，而变为连续积分。

现在，我们假设有一个非周期信号 x(t) x ( t ) ，它具有有限的持续期，从该信号出发，可以构建一个信号 x~(t) x ~ ( t ) ，使得 x(t) x ( t ) 是 x~(t) x ~ ( t ) 的一个周期，这样当周期 T T 无穷大时， x(t) x ( t ) 就可以等于 x~(t) x ~ ( t ) ，由于 x~(t) x ~ ( t ) 是名义上的周期信号，因此我们可以先观察 x~(t) x ~ ( t ) 的傅里叶级数展开情况。 x(t) x ( t ) 和 x~(t) x ~ ( t ) 的函数示意图如下图所示。

将信号 x~(t) x ~ ( t ) 进行傅里叶展开，求解系数时，将积分区间设定为 −T/2≤t≤T/2 − T / 2 ≤ t ≤ T / 2 ，有

x~(t)=∑k=−∞+∞akejkω0t(5) (5) x ~ ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k ω 0 t

ak=1T∫T/2−T/2x~(t)e−jkω0tdt(6) (6) a k = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 x ~ ( t ) e − j k ω 0 t d t

其中 ω0=2π/T ω 0 = 2 π / T ，由于当 |t|<T/2 | t | < T / 2 时 x(t)=x~(t) x ( t ) = x ~ ( t ) ，当 |t|≥T/2 | t | ≥ T / 2 时 x(t)=0 x ( t ) = 0 ，所以(6)式可以改写为

ak=1T∫T/2−T/2x(t)e−jkω0tdt=1T∫+∞−∞x(t)e−jkω0tdt(7) (7) a k = 1 T ∫ − T / 2 T / 2 x ( t ) e − j k ω 0 t d t = 1 T ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j k ω 0 t d t

将(7)式两边乘以 T T ，约掉等式右边的分母 T T ，有

Tak=∫+∞−∞x(t)e−jkω0tdt(8) (8) T a k = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j k ω 0 t d t

对上述(8)式进行变量替换，将 kω0 k ω 0 替换为 ω ω ，得到 Tak T a k 的包络 X(jω) X ( j ω )

X(jω)=∫+∞−∞x(t)e−jωtdt(9) (9) X ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t d t

这样，按照这种表达方式，可以重新将傅里叶系数表示为

ak=1TX(jω)=1TX(jkω0)(10) (10) a k = 1 T X ( j ω ) = 1 T X ( j k ω 0 )

此时，再将刚刚得到的(10)式带入(5)式，可以重新描述 x~(t) x ~ ( t ) 的傅里叶展开式

x~(t)=∑k=−∞+∞1TX(jkω0)ejkω0t(11) (11) x ~ ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ 1 T X ( j k ω 0 ) e j k ω 0 t

又因为 2π/T=ω0 2 π / T = ω 0 ，因此(11)式可以进一步改写为

x~(t)=12π∑k=−∞+∞X(jkω0)ejkω0tω0(12) (12) x ~ ( t ) = 1 2 π ∑ k = − ∞ + ∞ X ( j k ω 0 ) e j k ω 0 t ω 0

注：公式(12)已经更正，在末尾增加了 ω0 ω 0 ，感谢Myriad_Dreamin同学的指正！

上文已经提及，将傅里叶变换理解为周期无穷大的特殊情形，此时的傅里叶展开会由原来的离散求和变为连续积分，因此当 T→∞ T → ∞ 时， x~(t)→x(t) x ~ ( t ) → x ( t ) ，上述(12)式将过渡为连续积分，并与上述公式(9)结合起来，有

x(t)=12π∫+∞−∞X(jω)ejωtdω(13) (13) x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ X ( j ω ) e j ω t d ω

X(jω)=∫+∞−∞x(t)e−jωtdt(9) (9) X ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) e − j ω t d t

公式(13)和公式(9)就是傅里叶变换对，其中上面一行的公式(13)称为傅里叶逆变换（inverse Fourier transform），下面一行的公式(9)称为 x(t) x ( t ) 的傅里叶变换（Fourier transform）或傅里叶积分， X(jω) X ( j ω ) 通常称为 x(t) x ( t ) 的频谱。

这样，从傅里叶级数到傅里叶变换的推导就完成了。

总结：从傅里叶级数展开，到傅里叶变换，关键并不在于其中的数学推导，上述的代数推导中主要以变量替换为主，其表达方式与傅里叶级数展开并无太大区别，真正需要我们理解的是其中的思想：周期无穷大后，因为频率样本越来越密集，从而形成连续积分。明白了这一点，就不难理解傅里叶变换了。