离散时间傅里叶变换的由来-DFS到DTFT

用类比的思想,前面的傅里叶变换,拉普拉斯变换都是对连续的信号x(t),进行处理。

现实生活,好多信号都是要通过计算机处理的,计算机只能处理,所以需要把模拟信号离散化,变为离散序列x[n]。

既然连续信号都有傅里叶变换,离散序列,也应该有离散傅里叶变换。答案是肯定的。

我们回忆一下连续信号的傅里叶变换,怎么来的?

一个连续周期信号能够被傅里叶级数展开,变成很多个不通频率的正弦信号,由欧拉公式,也可以变为指数形式。这些频率组成了频谱。再把周期信号,无限拉长,变成了非周期信号,傅里叶级数变为傅里叶变换,但由于傅里叶变换要满足狄利赫里条件,所以有一部分函数不能进行傅里叶变换,拉普拉斯就乘一个指数信号,使所有函数都能收敛,满足狄利赫里条件,能够进行傅里叶变换,于是产生了拉普拉斯变换。

同样的,一个离散的周期信号也可以被离散傅里叶级数展开,变为很多不通频率的小信号。 把周期离散序列,一个周期无限延伸,周期变为非周期,离散傅里叶级数变为离散傅里叶变换,由于狄利赫里条件,也乘上一个指数序列,使满足狄利赫里条件,继而产生Z变换。

 

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