Parzen window概率密度估计

http://blog.sina.com.cn/s/blog_679e13290101cpr1.html

主要参考资料：http://www.personal.rdg.ac.uk/~sis01xh/teaching/CY2D2/Pattern2.pdf

在数学上一个连续概率密度函数p(x)的需满足以下的条件：

1、x在a和b之间的概率为:

2、对所有的x，p(x)非负

3、p(x)的积分值为1

最经常使用的概率密度函数就是高斯函数（正态分布）

将一维的情况扩展到多维，现在的 x就是一个向量，p( x)也需要满足下列条件：

1、在一个区域 R内 x的概率为

2、概率密度函数的积分值为1

密度估计
给点n个数据样本x1,x2,....,xn,我们可以估计概率密度函数p(x),对于新的样本x就可以计算出相应的p(x).这个过程就是密度估计。

密度估计的基础是：一个向量x落入到区域R的概率为

假设R非常小，所以p(x)的变化也很小，上面的公式就改写为：

其中V是R的“体积”

 

另一方面，假设x1,...,xn是根据密度函数p(x)独立取的n个样本点，其中有k个样本点落入到区域R中，关于R的概率就为：

这样就可以得到一个p(x)的估计函数：

 

Parzen window密度估计

假设R是以x为中心的超立方体，h为这个超立方体的边长，在2-D的方形中有V=h*h，3-D的立方体中有V=h^3。

给定上面的公式，表示的是Xi是否落在方形中。

Parzen概率密度估计公式的表示如下：

其中 被称作窗口函数(window function)。

同时可以对窗口函数做一定的泛化，就有其他的Parzen window密度估计方法。

例如在1-D的情况下使用Gaussian函数：

这种方法就相当于将n个点为中心的高斯函数计算平均。其中标准差 需要预先设定。

 

例子：

给定五个点：x1=2, x2=2.5, x3=3, x4=1, x5=6, 计算x=3位置的Parzen概率密度函数，采用 的高斯函数作为window function。

计算过程如下:

 
采用图形的方式进行显示，并假设上面的5个点对整个密度函数做出相等的贡献：

采用Parzen Window对这个五个点估计得到的概率密度函数为：