《机器学习技法》学习笔记15——矩阵分解

http://blog.csdn.net/u011239443/article/details/76735871

线性网络模型

Netflix在2006年给出了一个数据集
（用户id，电影id，电影评分）
让我们来预测用户未评分的电影评分分数。
我们可以讲用户id进行二分向量编码，然后同意用户的电影评分组成一个向量，即得到：

因为向量x只有一个值为1，所以模型可以变成：

而对于某一个电影的预测评分可以写作：

矩阵分解基础

损失函数为：

我们可以讲电影评分预测看作矩阵分解：

交替最小二乘法（ALS）
我们使用用户喜好特征矩阵 U(m∗k) 中的第i个用户的特征向量 ui ，和产品特征矩阵 V(n∗k) 第j个产品的特征向量 vj 来预测打分矩阵 A(m∗n) 中的 aij 。我们可以得出一下的矩阵分解模型的损失函数为：

C=∑(i,j)∈R[(aij−uivTj)2+λ(u2i+v2j)]

有了损失函数之后，下面就开始介绍优化方法。通常的优化方法分为两种：交叉最小二乘法（alternative least squares）和随机梯度下降法（stochastic gradient descent）。Spark使用的是交叉最小二乘法（ALS）来最优化损失函数。算法的思想就是：我们先随机生成然后固定它求解，再固定求解，这样交替进行下去，直到取得最优解 min(C) 。因为每步迭代都会降低误差，并且误差是有下界的，所以 ALS 一定会收敛。但由于问题是非凸的，ALS 并不保证会收敛到全局最优解。但在实际应用中，ALS 对初始点不是很敏感，是否全局最优解造成的影响并不大。

算法的执行步骤：

• 先随机生成一个。一般可以取0值或者全局均值。

• 固定，即认为是已知的常量，来求解：
  C=∑(i,j)∈R[(aij−u(0)ivTj)2+λ((u2i)(0)+v2j)]
  由于上式中只有 vj 一个未知变量，因此C的最优化问题转化为最小二乘问题，用最小二乘法求解 vj 的最优解：
  固定 j,j∈(1,2,...,n) ，则：等式两边关于为 vj 求导得：

  d(c)d(vj)
  =dd(vj)(∑i=1m[(aij−u(0)ivTj)2+λ((u2i)(0)+v2j)])
  =∑i=1m[2(aij−u(0)ivTj)(−(uTi)(0))+2λvj]
  =2∑i=1m[(u(0)i(uTi)(0)+λ)vj−aij(uTi)(0)]

  令 d(c)d(vj)=0 ，可得：
  ∑i=1m[(u(0)i(uTi)(0)+λ)vj]=∑i=1maij(uTi)(0)
  =>(U(0)(UT)(0)+λE)vj=aTjU(0)

  令 M1=U(0)(UT)(0)+λE,M2=aTjU(0) ，则 vj=M−11M2
  按照上式依次计算 v1，v2，...，vn ，从而得到 V(0)

• 同理，用步骤2中类似的方法:
  C=∑(i,j)∈R[(aij−ui(vTj)(0))2+λ(u2i+(v2j)(0))]
  固定 i,i∈(1,2,...,m) ，则：等式两边关于为 ui 求导得：

  d(c)d(ui)
  =dd(ui)(∑j=1n[(aij−ui(vTj)(0))2+λ((u2i)+(v2j)(0))])
  =∑j=1n[2(aij−ui(vTj)(0))(−(vTj)(0))+2λui]
  =2∑j=1n[(v(0)j(vTj)(0)+λ)ui−aij(vTj)(0)]

  令 d(c)d(ui)=0 ，可得：
  ∑j=1n[(v(0)j(vTj)(0)+λ)ui]=∑j=1naij(vTj)(0)
  =>((V(0)(VT)(0)+λE)ui=aTiV(0)
  令 M1=V(0)(VT)(0)+λE,M2=aTiV(0) ，则 ui=M−11M2
  按照上式依次计算 u1，u2，...，un ，从而得到 U(1)

• 循环执行步骤2、3，直到损失函数C的值收敛（或者设置一个迭代次数N，迭代执行步骤2、3，N次后停止）。这样，就得到了C最优解对应的矩阵U、V。

线性自动编码器和矩阵分解对比：

随机梯度下降

我们尝试使用随机梯度下降的方法来最小化损失函数：

于是我们的优化模型就可以表示成：

当训练集的数据时间上要早于测试集，这么一来，时间上越晚的数据应该权重越高。于是我们可以使用随机梯度下降变形——基于时间的梯度下降——在训练后期只选择时间靠后的数据。