给定一棵 n 个点的树,每条边有边权。现在选择一条边将它删除,得到两个联通块,要求最大的联通块直径之和是多少。
Data Constraint
n≤100000
先给出一个结论:两个联通块合并后的新直径必然是由两条旧直径的端点组合而成。
也就是说,我们可以比较容易地合并两个联通块。然后考虑用线段树维护DFS序上的联通块直径,线段树上一个区间即代表DFS序对应区间的结点构成的联通块。
然后枚举删除哪条边,再在线段树上查询对应的区间即可。
然而这样是 log2 因为合并直径的时候用倍增求LCA还要一个 log ,所以会T。
用RMQ求LCA问题就解决了。
用RMQ可以实现 O(n) 求树上两点的LCA。
记录一个 S 数组,每次DFS到某个点的时候就加入 S 数组,“到”并不是指DFS那种第一次“到”,是每次都加入。可以证明最终 S 数组内会有 2n+1 个数。
再记一个数组 P , Pi 表示 Si 在树中的深度是 Pi 。
举个栗子:
然后记 Firsti 表示 i 结点在 S 中第一次出现的位置。
对于一个询问 (x,y) ,它们的LCA就是 [Firstx,Firsty] 中深度最小的结点。
正确性: [Firstx,Firsty] 中深度小于 x,y 的点都在 x→y 的路径上,而深度最小的那个点就必然是LCA了。
#include
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#include
using namespace std ;
#define N 100000 + 10
typedef long long ll ;
const int MAXN = 19 ;
struct Note {
int a , b ;
ll len ;
Note ( int X = 0 , int Y = 0 , ll Z = 0 ) { a = X , b = Y , len = Z ; }
} T[4*N] , ret ;
int tab[2*N] ;
int RMQ[2*N][MAXN] ;
int Node[2*N] , Next[2*N] , Len[2*N] , Head[N] , tot = 1 ;
int S[2*N] , P[2*N] , Fir[N] , Dep[N] ;
int E[N] , D[N] , R[N] , DFN[N] ;
ll ans , Dist[N] ;
int n ;
void link( int u , int v , int w ) {
Node[++tot] = v ;
Next[tot] = Head[u] ;
Len[tot] = w ;
Head[u] = tot ;
}
void DFS( int x , int Fa ) {
D[++D[0]] = x ;
S[++S[0]] = x ;
P[S[0]] = Dep[x] ;
Fir[x] = S[0] , DFN[x] = D[0] ;
for (int p = Head[x] ; p ; p = Next[p] ) {
if ( Node[p] == Fa ) continue ;
Dep[Node[p]] = Dep[x] + 1 ;
Dist[Node[p]] = Dist[x] + Len[p] ;
DFS( Node[p] , x ) ;
S[++S[0]] = x ;
P[S[0]] = Dep[x] ;
R[x] = D[0] ;
}
}
void Pre() {
for (int i = 1 ; i <= S[0] ; i ++ ) RMQ[i][0] = i , tab[i] = log(i) / log(2) ;
for (int j = 1 ; j < MAXN ; j ++ ) {
for (int i = 1 ; i <= S[0] ; i ++ ) {
RMQ[i][j] = RMQ[i][j-1] ;
if ( i + (1 << (j-1)) <= S[0] && P[RMQ[i+(1<<(j-1))][j-1]] < P[RMQ[i][j]] ) RMQ[i][j] = RMQ[i+(1<<(j-1))][j-1] ;
}
}
}
int Find( int l , int r ) {
int k = tab[r-l+1] ;
if ( P[RMQ[l][k]] < P[RMQ[r-(1<1][k]] ) return RMQ[l][k] ;
return RMQ[r-(1<1][k] ;
}
int LCA( int x , int y ) {
if ( Fir[x] > Fir[y] ) swap( x , y ) ;
return S[Find(Fir[x],Fir[y])] ;
}
ll Calc( int x , int y ) {
return Dist[x] + Dist[y] - 2 * Dist[LCA(x,y)] ;
}
Note Merge( Note x , Note y ) {
Note ret = (x.len > y.len ? x : y) ;
if ( Calc(x.a,y.a) > ret.len ) ret = Note( x.a , y.a , Calc(x.a,y.a) ) ;
if ( Calc(x.a,y.b) > ret.len ) ret = Note( x.a , y.b , Calc(x.a,y.b) ) ;
if ( Calc(x.b,y.a) > ret.len ) ret = Note( x.b , y.a , Calc(x.b,y.a) ) ;
if ( Calc(x.b,y.b) > ret.len ) ret = Note( x.b , y.b , Calc(x.b,y.b) ) ;
return ret ;
}
void Build( int v , int l , int r ) {
if ( l == r ) {
T[v].a = T[v].b = D[l] ;
return ;
}
int mid = (l + r) / 2 ;
Build( v + v , l , mid ) ;
Build( v + v + 1 , mid + 1 , r ) ;
T[v] = Merge( T[v+v] , T[v+v+1] ) ;
}
void Search( int v , int l , int r , int x , int y ) {
if ( x > y ) return ;
if ( l == x && r == y ) {
ret = Merge( ret , T[v] ) ;
return ;
}
int mid = (l + r) / 2 ;
if ( y <= mid ) Search( v + v , l , mid , x , y ) ;
else if ( x > mid ) Search( v + v + 1 , mid + 1 , r , x , y ) ;
else {
Search( v + v , l , mid , x , mid ) ;
Search( v + v + 1 , mid + 1 , r , mid + 1 , y ) ;
}
}
int main() {
scanf( "%d" , &n ) ;
for (int i = 1 ; i < n ; i ++ ) {
int u , v , w ;
scanf( "%d%d%d" , &u , &v , &w ) ;
link( u , v , w ) ;
link( v , u , w ) ;
E[++E[0]] = tot ;
}
Dist[1] = 0 ;
Dep[1] = 1 ;
DFS( 1 , 0 ) ;
Pre() ;
Build( 1 , 1 , n ) ;
for (int i = 1 ; i <= E[0] ; i ++ ) {
int x = Node[E[i]] ;
int y = Node[E[i]^1] ;
if ( Dep[x] > Dep[y] ) swap( x , y ) ;
ret.a = ret.b = y ;
ret.len = 0 ;
Search( 1 , 1 , n , DFN[y] , R[y] ) ;
ll tp = ret.len ;
ret.a = ret.b = x ;
ret.len = 0 ;
Search( 1 , 1 , n , 1 , DFN[y] - 1 ) ;
Search( 1 , 1 , n , R[y] + 1 , n ) ;
tp += ret.len ;
ans = max( ans , tp ) ;
}
printf( "%lld\n" , ans ) ;
return 0 ;
}
以上.