Cauchy序列

1. 柯西序列的定义

设 xn 是距离空间 X 中的点列，如果对于任意的 ε>0，存在自然数N，当 m,n>N 时，|xn−xm|<ε，称 xn是一个 Cauchy 列。

在数学中，一个柯西列是指一个这样一个序列，它的元素随着序数的增加而愈发靠近（0.99999….）。更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正的常数。柯西列是以数学家奥古斯丁·路易·柯西的名字命名的。

柯西序列未要求收敛；

2. 完备空间

完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。

• 有理数空间不是完备的，因为√2的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限√2不在有理数空间内。
• 实数空间是完备的开区间 (0,1)不是完备的。
• 序列 (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …) 是柯西序列但其不收敛到任何(0, 1)中的点，

在数学及其相关领域中，一个对象具有完备性，即它不需要添加任何其他元素，这个对象也可称为完备的或完全的。更精确地，可以从多个不同的角度来描述这个定义，同时可以引入完备化这个概念。但是在不同的领域中，“完备”也有不同的含义，特别是在某些领域中，“完备化”的过程并不称为“完备化”，另有其他的表述，请参考代数闭域、紧化（compactification）或哥德尔不完备定理。

3. 理解

直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。从这一点上讲，一个空间完备同一个集合的闭包是类似的。这一类似还体现在以下定理中：完备空间的闭子集是完备的。