《信号与系统学习笔记》—拉普拉斯变换（一）
注：本博客是基于奥本海姆《信号与系统》第二版编写，主要是为了自己学习的复习与加深。
一、拉普拉斯变换
1、由此前可知，一个单位冲激响应为h(t)的线性时不变系统，对
复指数输入信号的响应y(t)是
其中，
若s为虚数(即s=jw)，式(9.2)的积分就对应于h(t)的博里叶变换。对一般的复变量s来说，式(9.2)就称为单位冲激响应h(t)的拉皮拉斯变换。
2、一个信号的拉普拉斯变换定义如下：
应该特别注意到，这时一个自变量为s的函数，而s是在
中指数的复变量。复变量s一般可写成
，其中
和w分别是它的实部和虚部。为了方便起见，场将拉皮拉斯变换表示为算子L{x(t)}形式，而把x(t)和X(s)之间的变换关系记为
当s=jw时，式(9.3)就变成
这就是x(t)的博里叶变换。
2）、当复变量s不为纯虚数时，拉普拉斯变换与博里叶变换也有一个直接的关系。为了看出这一点，僵尸式(9.3)的X(s)中的s表示成
，则有
或者
可以把式(9.8)的右边看成
的博里叶变换。
3、在给出一个拉普拉斯变换时，代数表示式和该表示式能成立的变量s值得范围都应该给出。一般把积分式(9.3)收敛的s值称为拉普拉斯变换的收敛域，特记为ROC。
4、对于有理的拉普拉斯变换，其复变量s的两个多项式之比，具有如下形式
其中N(s)和D(s)分别是分子多项式和分母多项式。
1）、只要x(t)是实指数或复指数信号的线性组合，X(s)就一定是有理的。
2）、在分子多项式的那些根上X(s)=0，故称其为X(s)的零点；而在分母多项式的那些根上X(s)编程无界的，故称分母多项式为X(s)的极点。在有限s平面内，X(s)的零点和极点，除了一个常数因子外可以完全表征X(s)的代数表示式。通过s平面内的极点和零点的X(s)的表示就称为X(s)的零-极点图。
3）、除了一个常熟因子外，一个有理拉普拉斯变换的完全表征是由该变换的零-极点图与它的收敛域一起组成的。
4）、另外，虽然不一定都需要给出一个有理变换X(s)的代数表示式，但是有时为了指明X(s)在无限远的极点和零点，有了代数表示式倒是较为方便。也就是说，如果分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，那么X(s)将趋向于无穷小而变为零。相反，若分子多项式的阶次高于分母多项式的阶次，那么X(s)将趋向于无穷大而变为无界。这样一种特性就可以把它们看成无穷远处的零点或极点。
5）、一般来说，如果分母的阶次超出分子的阶次为k此，则X(s)在无穷远一定有k阶零点；同理，若分子的阶次超出分母的阶次为k此，则X(s)在无穷远点一定有k阶极点。
二、拉普拉斯变换收敛域
1、性质一；X(s)的收敛域在s平面内由平行于jw轴的带状区域所组成。
2、性质二；对有理拉普拉斯变换来说，收敛域不包括任何极点。
3、性质三；如果x(t)是有限持续期，并且是绝对可积的，那么收敛域就是整个s平面。
4、性质四；如果x(t)是右边信号，并且
这条线位于收敛域内，那么
的全部s值都一定在收敛域内。
5、性质五；如果x(t)是右边信号，并且这条线位于收敛域内，那么
的全部s值都一定在收敛域内。
6、性质六；如果x(t)是右边信号，并且这条线位于收敛域内，那么收敛域就一定由s平面的一条带状区域组成，直线
位于带中。
7、性质七；如果x(t)的拉普拉斯变换X(s)是有理的，那么它的收敛域是被极点所界定的或延伸到无限远。另外，在收敛域呢不包含X(s)的任何极点。
8、性质八；如果x(t)的拉普拉斯变换X(s)是有理的，那么若x(t)是右边信号，则其收敛域在s平面上位于最右边极点的右边；若x(t)是左边信号，则其收敛域在s平面上位于最左边极点的左边。
三、拉皮拉斯逆变换
1、拉普拉斯逆变换的·基本关系式为
1）、上式说明，x(t)可以用一个复指数信号的加权积分来表示。式(9.56)的积分路径是在s平面内对应于满足
的全部s点的这条直线，该直线平行于jw轴。再者，在收敛域内可以选取任何这样一条直线；也就是说，在收敛域内可以选取任何
,而使
收敛。对于一般的X(s)来说，这个积分的求值要求利用复平面的围线积分。
2）、对于有理变换，求其拉普拉斯逆变换不必直接计算式(9.56)，而可以像以前求博里叶你变换所做的那样，采用部分分式展开的办法。这一过程基本上就是把一个有理代数表示式展开成低阶阶项的线性组合。
四、由零-极点图对博里叶变换进行稽核求值
1、一般一般的有理拉普拉斯变换是由上述讨论的零点和极点项的乘积所组成的，也就是说，一个有理拉普拉斯变换可以因式分解成
为了求取X(s)在s=s1的值，乘积中的每一项都可用一个从零点或极点到s1点的向量来表示。那么X(s1)的模就是个零点向量(从各个零点到s1的向量)常数乘积的M倍倍各极点向量(从各个极点到s1的向量)的长度相除。而复数X(s1)的相角则是这些零点向量相角的和减去这些极点向量相角的和。
一）、一阶系统
1、一阶系统的单位冲激响应是
它的拉普拉斯变换就是
其零-极点如图9.17所示。
1）、从该图可以看到，极点向量的长度在w=0最短，并随我增加而单调增加；；同时，极点向量的相角w从0增加到∞而单调得从0增加到π/2.
2）、从极点向量随w变化的规律来看，很明显其频率响应H(jw)的模随w增加而单调下降，而
则单调的从0下降到-π/2。
3）、由图示可以看到，H(s)极点位置的变化如何改变一阶系统的特性。特别是，极点越朝左半平面移，系统的转折频率，或有效截止频率就会增加；同时，极点向左移动对应于时间常数t的减小，结果单位冲激响应就衰减得更快，而阶跃响应则有一个更快的上升时间。
二）、二阶系统
1、二阶系统的冲激响应和频率响应如下
其中，
且
单位冲激响应的拉普拉斯变换是
1）、若
都是实数，因此两个极点都位于实轴上，如图9.19(a)所示
在这种情况下，|H(jw)|随着|w|的增加而单调下降，而
则由w=0时变到w→∞时的-π。同时也注意到，随着的增加，一个极点移向jw轴(这就是在单位冲激响应中衰减较慢的一项)；而另一极点则移向左半平面(这就是在单位冲激响应中衰减较快的一项)。
2）、对于
都是复数，所以零-极点如图9.19(c)所示。相应地，单位冲激响应的阶跃响应都有振荡的部分。应该注意到买这两个极点发生在复数共轭的位置上。对于
，这个二阶系统是一个非理想的带通滤波器，参数控制着频率响应的尖锐程度和峰值宽度。
三）、全通系统
1、全通系统频率响应的相位
-
，或者因为
=π-
，所以
由图9.21(a)可知，
，因此
H(jw)的模和相位特性均如9.21(b)所示
四、拉普拉斯变换的性质
一）、线性性质
若
且
则
正如所指出的，X(s)的收敛域至少是R1和R2的相交，这个交可以是空的；若是这样，X(s)就没有收敛域，即x(t)不存在拉普拉斯变换。
二）、时移性质
1、若
则
三）、s域平移
1、若
则
这就是说，X(s-s0)的收敛域是X(s)的收敛域平移一个RE（s0）。
当s0=jw时，也就是一个信号x(t)用来调制一个周期复指数
时，式(9.88)就变成
式(9.89)的右边可以看成在s平面内平行于实轴的一个平移，也就是说，若x(t)拉普拉斯变换在s=a有一个极点或零点，那么
就在s=a+jw0有一个极点或零点。
四）、时域尺度变换
1、若
那么
这就是说，对于在R中的任何值(见图9.24)，a·s的值一定位于R1中，如果9.24(b)所示
这里0
五）、共轭
1、若
则
因此
因此，若x(t)为实函数并且若X(s)有一个极点或零点在s=s无界或为零，那么X(s)也一定有一个复数共轭s=s0*的极点或零点。
六）、卷积性质
1、若
且
因此
因此，X1(s)X2(s)的收敛域包裹X1(s)和X2(s)的收敛域的相交部分，如果在乘积中有零极点相消，那么X1(s)X2(s)的收敛域也可以比它们的相交部分大。
七）、时域微分
1、若
则
将式(9,56)的逆变换式两边对t微分，就可得到这个性质，即设
那么就有
可见，d(x)/dt就是sX(s)的逆变换。sX(s)的收敛域包括X(s)的收敛域，并且如果X(s)中有一个s=0的一阶极点被乘以s抵消了，还可以比X(s)的收敛域还要大。
八）、s域微分
1、若
则
九）、时域积分
1、若
则
十）、初值定理与终值定理
若t<0，x(t)=0，并且在t=0时，x(t)不包含冲激或高阶奇异函数，在这些特别限制下，就可以直接从拉普拉斯变换式中急速年初至x(0+)，即当t从正值方向趋于0时x(t)的值，以及终值，即→∞时的x(t)值。
1、初值定理
2、终值定理
十一）、性质列表
五、常用拉普拉斯变换对
