多元正态分布的极大似然估计

多元正态分布的极大似然估计

1. 一元正态分布的密度函数

一元正态分布的密度函数表示为：

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi )}\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$其中，$\sigma >0$。由于$x$、$\mu$均为一维的数值，$(x-\mu {)}^T$与$(x-\mu )$是等价的，所以上述密度函数又可以写成如下形式：

$$f(x)=\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{1}{2}}({\sigma }^2{)}^{\frac{1}{2}}}{e}^{-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^T({\sigma }^2{)}^{-1}(x-\mu )}$$将上式推广，就得到多元正态分布的定义。

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2. 多元正态分布的密度函数

设$K$维随机向量$x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ...\\ x_K\end{array}\right]$的密度函数为：

$$f_{\mu ,\Sigma }(x)=f_{\mu ,\Sigma }(x_1,...,x_K)=\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{K}{2}}}\cdot \frac{1}{|\Sigma {|}^{\frac{1}{2}}}\cdot e^{-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x-\mu )}$$其中，$K$表示向量$x$的维度。均值向量$\mu$是$K$维向量，协方差矩阵$\Sigma$是一个$K\times K$的对称正定阵，则称$x$服从$K$元正态分布，也称$x$为$K$维正态随机向量，简记为：$x$~$N_K(\mu ,\Sigma )$。显然当$K=1$时，即为一元正态分布的密度函数。

注意，当$|\Sigma |=0$时，${\Sigma }^{-1}$不存在，$x$也就不存在通常意义下的密度函数，然而可以形式的给出一个表达式。有些问题可以利用这一形式对$|\Sigma |̸=0$及$|\Sigma |=0$的情况给出一个统一的处理。

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3. 多元正态分布的极大似然估计

对于$N$个样本点：$\{x^1,...,x^N\}$，其似然函数为：

$$L(\mu ,\Sigma )=f_{\mu ,\Sigma }(x^1)f_{\mu ,\Sigma }(x^2)...f_{\mu ,\Sigma }(x^N)$$$$=(2\pi {)}^{-\frac{KN}{2}}\cdot |\Sigma {|}^{-\frac{N}{2}}\cdot e^{-\frac{1}{2}{\sum }_{n=1}^N(x^n-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x^n-\mu )}$$

对数似然函数：

$$\ln L(\mu ,\Sigma )=-\frac{KN}{2}\ln (2\pi )-\frac{N}{2}\ln |\Sigma |-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^N(x^n-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x^n-\mu )$$$$=C-\frac{N}{2}\ln |\Sigma |-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^N(x^n-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x^n-\mu )$$

其中，$C=-\frac{KN}{2}\ln (2\pi )$为一个常数。

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【矩阵代数】

一元微积分中，导数（标量对标量的导数）与微分有联系：$df=f^{{}^{\prime }}(x)dx$。

多元微积分中，梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系：$df={\sum }_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i={\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}}^{T}d\mathbf{x}$。这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度与微分的联系：全微分$df$是$n\times 1$梯度向量$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}$与$n\times 1$微分向量$dx$的内积。

据此，矩阵导数与微分也可建立联系：$df={\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^n\frac{\partial f}{\partial X_{ij}}d{X}_{ij}=\text{tr}\left({\frac{\partial f}{\partial X}}^{T}dX\right)$。其中，$\text{tr}$代表迹（trace），是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵$A$、$B$有$\text{tr}(A^{T}B)={\sum }_{i,j}{A}_{ij}{B}_{ij}$，即$\text{tr}(A^{T}B)$是矩阵$A$、$B$的内积。与梯度相似，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了矩阵导数矩阵与微分的联系：全微分$df$是$m\times n$导数$\frac{\partial f}{\partial X}$与$m\times n$微分矩阵$dX$的内积。

矩阵微分的运算法则

1. 加减法：$d(X\pm Y)=dX\pm dY$
   矩阵乘法：$d(XY)=dXY+XdY$
   转置：$d(X^T)=(dX{)}^T$
   迹：$d\text{tr}(X)=\text{tr}(dX)$

2. 逆：$d{X}^{-1}=-X^{-1}dX{X}^{-1}$。此式可在$X{X}^{-1}=I$两侧求微分来证明

3. 行列式：$d|X|=\text{tr}(X^{\ast }dX)$ ，其中$X^{\ast }$表示$X$的伴随矩阵，在$X$可逆时又可以写作$d|X|=|X|\text{tr}(X^{-1}dX)$。此式可用Laplace展开来证明，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页

通过矩阵导数与微分的联系：$df=\text{tr}\left({\frac{\partial f}{\partial X}}^{T}dX\right)$，在求出左侧的微分$df$后，可以利用如下一些迹技巧（trace trick）写成右侧的形式并得到导数：

矩阵求导的运算法则

1. $\frac{\partial X^{T}AX}{\partial X}=(A+A^T)X$，当$A$为实对称矩阵时，$\frac{\partial X^{T}AX}{\partial x}=2AX$

2. 当$A$为实对称矩阵时，$\frac{\partial (X^{T}AX)}{\partial A}=X{X}^T$，$\frac{\partial \ln |A|}{\partial A}=A^{-1}$

3. $\frac{\partial (X^{-1})}{\partial t}=-X^{-1}\frac{\partial X}{\partial t}{X}^{-1}$

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对数似然函数分别对$\mu$、$\Sigma$求偏导

由上，对数似然函数：

$$\ln L(\mu ,\Sigma )=C-\frac{N}{2}\ln |\Sigma |-\frac{1}{2}\sum _{n=1}^N(x^n-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x^n-\mu )$$

• $\ln L(\mu ,\Sigma )$对$\mu$求偏导，并令偏导为$0$，即求解$\frac{\partial [{\sum }_{n=1}^N(x^n-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x^n-\mu )]}{\partial \mu }=0$，记为$\frac{\partial l_1}{\partial \mu }=0$

1. 将$l_1={\sum }_{n=1}^N(x^n-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x^n-\mu )$展开：$$\sum _{n=1}^N[(x^n{)}^T{\Sigma }^{-1}{x}^n-2(x^n{)}^T{\Sigma }^{-1}\mu +{\mu }^T{\Sigma }^{-1}\mu ]$$$$=\sum _{n=1}^N(x^n{)}^T{\Sigma }^{-1}{x}^n-2\sum _{n=1}^N(x^n{)}^T{\Sigma }^{-1}\mu +N{\mu }^T{\Sigma }^{-1}\mu$$

2. 对第2项求微分：
   $d(-2{\sum }_{n=1}^N(x^n{)}^T{\Sigma }^{-1}\mu )=-2{\sum }_{n=1}^N(x^n{)}^T{\Sigma }^{-1}d\mu =-2{\sum }_{n=1}^{N}tr((x^n{)}^T{\Sigma }^{-1}d\mu )$
   所以第2项对$\mu$的偏导为：$$\frac{\partial [-2{\sum }_{n=1}^N(x^n{)}^T{\Sigma }^{-1}\mu ]}{\partial \mu }=-2\sum _{n=1}^N((x^n{)}^T{\Sigma }^{-1}{)}^T=-2\sum _{n=1}^N{\Sigma }^{-1}{x}^n$$
   第3项对$\mu$的偏导为：$$\frac{\partial (N{\mu }^T{\Sigma }^{-1}\mu )}{\partial \mu }=2N{\Sigma }^{-1}\mu$$

3. $l_1$对$\mu$的偏导：$$\frac{\partial l_1}{\partial \mu }=-2\sum _{n=1}^N{\Sigma }^{-1}{x}^n+2N{\Sigma }^{-1}\mu$$令其等于$0$，解得极大似然估计为：$$\hat{\mu }=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N{x}^n=\overline{x}$$

• $\ln L(\mu ,\Sigma )$对$\Sigma$求偏导，并令偏导为$0$，即求解$\frac{\partial [\ln |\Sigma |+\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N(x^n-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x^n-\mu )]}{\partial \Sigma }=0$，记为$\frac{\partial l_2}{\partial \Sigma }=0$

1. 首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则
   第一项：$d[\ln |\Sigma |]=|\Sigma {|}^{-1}d|\Sigma |=\text{tr}({\Sigma }^{-1}d\Sigma )$
   第二项：
   $d[\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N(x^n-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x^n-\mu )]$
   $=\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N(x^n-\mu {)}^{T}d{\Sigma }^{-1}(x^n-\mu )$
   $=-\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N(x^n-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}d\Sigma {\Sigma }^{-1}(x^n-\mu )$

2. 套上迹，作交换
   第一项不变$\text{tr}({\Sigma }^{-1}d\Sigma )$
   第二项：
   $\text{tr}\left(-\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N(x^n-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}d\Sigma {\Sigma }^{-1}(x^n-\mu )\right)$
   $=-\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N\text{tr}((x^n-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}d\Sigma {\Sigma }^{-1}(x^n-\mu ))$
   $=-\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N\text{tr}({\Sigma }^{-1}(x^n-\mu )(x^n-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}d\Sigma )$
   $=\text{tr}\left(-{\Sigma }^{-1}\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N(x^n-\mu )(x^n-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}d\Sigma \right)$
   其中，第一个等号先交换了$\text{tr}$与$\sum$，第二个等号将$d\Sigma$右边式子交换到左边，第三个等号再一次交换$\text{tr}$与$\sum$。

3. 所以，$d{l}_2=\text{tr}\left(({\Sigma }^{-1}-{\Sigma }^{-1}\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N(x^n-\mu )(x^n-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1})d\Sigma \right)$，对照导数与微分的联系有：$$\frac{\partial l_2}{\partial \Sigma }=({\Sigma }^{-1}-{\Sigma }^{-1}\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N(x^n-\mu )(x^n-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}{)}^T$$令其等于$0$，解得极大似然估计为：$$\hat{\Sigma }=\frac{1}{N}\sum _{n=1}^N(x^n-\mu )(x^n-\mu {)}^T$$将$\hat{\mu }=\overline{x}$代入上式得：$\hat{\Sigma }=\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N(x^n-\overline{x})(x^n-\overline{x}{)}^T$。

定义样本离差矩阵（又称为交叉乘积阵）$V={\sum }_{n=1}^N(x^n-\overline{x})(x^n-\overline{x}{)}^T$，它是一个$K\times K$的矩阵。

定义样本协差阵$S=\frac{1}{N}V=\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N(x^n-\overline{x})(x^n-\overline{x}{)}^T$，它也是一个$K\times K$的矩阵。

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计算结果

综上，多维正态分布的极大似然估计为：$$\hat{\mu }=\overline{x}，\hat{\Sigma }=S$$其中，$S=\frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N(x^n-\overline{x})(x^n-\overline{x}{)}^T$，$N$为样本个数。

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参考资料：
矩阵代数_pdf
矩阵求导术（上）
第一章 矩阵代数_pdf
第二章 多元正态分布的参数估计_ppt
第二章 多元正态分布及参数的估计_pdf
多元正态分布参数的估计和数据的清洁与变换_pdf