最短路径：Bellman-Ford算法 & Floyd算法

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Bellman-Ford算法 ：

    由于Dijckstra算法并不能用于计算带负权图的最短路径（原因），所以这里用Bellman-Ford算法来弥补这一缺点。

    基本思想：前提：如果最短路存在，则最短路不存在环（正环零环可去掉，负环不存在最短路）。所以最短路最多包含n -1 个节点，所以只需要进行n -1轮松弛操作即可（松弛操作是什么：点这里）。复杂度为mn。

    实现代码：（C++）

for(int i = 0; i < n; i++) d[i] = INF;
d[0] = 0;
for(int k = 0; k < n; k++)
  for(int i = 0; i < m; i++) {
    int x = u[i], y = v[i];
    if(d[x] < INF) d[y] = min{d[y], d[x] + w[x][y]};
}

Floyd算法：

    用于求每两对点之间的最短路，实现代码:

for(int k = 0; k < n; k++)
  for(int i = 0; i < n; i++)
    for(int j = 0; j < n; j++)
      if(d[i][j] < INF && d[k][j] < INF) //如果点k连通i和j
        d[i][j] = min{d[i][j], d[i][k] + d[k][j]}

    拓展：在有向图中，如果设1为联通，0为不联通，并将” d[i][j] = min{d[i][j], d[i][k] + d[k][j]}“ 改成 ” d[i][j] = d[i][j] || (d[i][k] && d[k][j])“ ，就可以求道两点间是否联通，这样的结果称为有向图的传递闭包。

    巧妙应用实例：噪音恐惧症（UVA10048 Audiophobia）

    此题我发现了紫书上的一个题解错误（p365）题解中 "把加法修改成min, min 修改成 max" 应该改为 "把加法修改成max, min 不变"，不然一辈子做不对这道题。