离散数学:格与布尔代数

 
  

Abstract:逻辑代数实质是符号逻辑,布尔代数即逻辑代数,核心是类的演算。偏序关系是格的先修知识。当偏序集里的所有子集都有最大下界和最小上界时,称为格。其中有补分配格称为布尔代数(有补,分配,有界)。


布尔代数初导

逻辑代数实质是符号逻辑,德摩根与布尔算是逻辑代数的创始人,布尔代数即逻辑代数。

德摩根定律:

德摩根定律:一个组(aggregate)的反面(contrary)是各个组的反面的复合(compound);一个复合的反面是各成分的反面的组合。

布尔代数

外延逻辑extensional logic:类(class)的逻辑

  • 用小写字母表示类或集合,用大写字母表述个体元素

  • 1:万有类,0:空类或零类

  • xy:x,y中共有元素的集合;x + y:所有元素的集合;1 - x:x的补集;x - y:由不是y的x组成的类;xy = x:x包含在y中(x的外延小于y);等号:表示两个类的同一性

矛盾律:(),即A不能既是A又是B

排中律:,即任何东西不是A就是非A

布尔:延伸—命题逻辑

类的演算可以解释为命题的演算:

若x与y不是类而是命题,则xy是x与y的同时肯定;而x+y是x或y或两者的肯定;x=1表示命题x为真,x=0表示命题x为假,1-x表示x的否定。

格与布尔代数

偏序关系(偏序是格的先修知识)

偏序:设R为非空集合A上的关系,若R是自反的,反对称的,可传递的,则称R为A上的偏序关系,简称偏序。记作。如{1,2,4,8}是偏序关系。

常见的偏序关系:

  • 整数集合R上的小于等于、大于等于关系

  • 幂集(所有子集)中的包含关系

  • 正整数的整除和整倍数关系

注:一个偏序的逆关系也是偏序。

偏序集:,即集合A与A上的偏序关系

覆盖:是一个偏序集,如果对任何x, y ∈ A, 有x≤y且x≠y, 不存在其他的元素z∈A, 能够让x≤z且z小于等于y即成立,则称元素y覆盖x。

如:{1,2,4,8}中,8覆盖4,但8不能覆盖2(因为存在4∈A, 使x∈4且4≤8)

哈斯图:表示偏序关系的图。以小圈表示元素,如果有x, y∈A, x≤y且x≠y, 则把x的小圈画在y的小圈下面。而且如果y能够覆盖x的话,便在中间连上一条线(这条线的方向默认是从下往上的,所以不需要标注方向)。如:

离散数学:格与布尔代数_第1张图片

离散数学:格与布尔代数_第2张图片

偏序的重要概念

偏序与格的概念联系非常紧密

1.设是一个偏序集合,且有Q⊆,y∈Q。

最小元: 对任意x(x∈Q)有y≤x,则y为Q的最小元,通常记作0

最大元: 对任意x(x∈Q)有x≤y,则y为Q的最大元,通常记作1

极小元: 对任意x(x∈Q)且x≤y,有x=y成立,则y为Q的极小元

极大元: 对任意x(x∈Q)且y≤x,有x=y成立,则y为Q的极大元

2.设是一个偏序集合,并有Q⊆P,y∈P

上界:对任意x(x∈Q)有x≤y,则y为Q的上界,不一定唯一,注意y只是集合中的一个元素

下界:对任意x(x∈Q)有y≤x,则y为Q的下界,不一定唯一,注意y只是集合中的一个元素

最小上界:因为上界不一定唯一,那么Q中所有的上界中最小元即为最小上界

最大下界:因为下界不一定唯一,那么Q中所有的下界中最大元即为最大下界

注意:若某子集有N个“貌似最大下界”,且它们不在一条偏序路径上,则它们不具有可比性,因此没有最大下界

离散数学:格与布尔代数_第3张图片

如上图,A = {2,3}无最大下界!最小上界是6.

格与布尔代数的概念

1.格的第一种概念:(用偏序理解)

是一个偏序集,对P中任意元素x和y,{x,y}组成的集合都有最大下界和最小上界,则称为格。

即,所有子集都有最大下界和最小上界。attention:判断格里的子集都是二元的,{x,y}, 不能是{x, y, z}.判断是否为格:当发现找不到两个元素, 使他们没有最大上界和最小上界, 则为格.

反例:下图中{b,c}无最大下界,因为d,e不具有可比性。

离散数学:格与布尔代数_第4张图片

格的二元运算符号:

  • x∧y: x与y最大下界(向上开口就是最大嘛)

  • x∨y: x与y最小上界(向下开口就是最小嘛)

格的二元运算满足的运算定律:

  • 交换律,结合律,等幂律,吸收率,无分配律

  • 如果对该格有 a∧(b∨c) = (a∧c)∨(a∧b), 即满足分配律的话, 就是分配格

2.格的第二种概念:(用代数系统理解)

概念:对具有两个二元计算的代数系统,如果和+满足交换律,结合律,吸收率(但是不一定要对+满足分配率),那么这个代数系统构成一个格。

子格: 设构成格, L是S的非空子集, 如果L关于格中的运算∨和∧仍然能够构成格, 那么L就是S的子格。完全格:格的每个非空子集均有上下确界,则成为完全格。

有界格:若格有最小元0和最小元1(不记得了的话往上翻), 则成为有界格, 记作, 完全格必然有最小元和最大元。

补元:有界格中, 对任意元素a∈L, 若存在b∈L, 并且a∧b = 0, a∨b = 1, 则称b是a的补元,补元不一定唯一。

有补格:有界格中,每一个元素都有补元,则称为有补格。

布尔代数:

  • 定义1:如果一个格是有补分配格,那么称为布尔代数。

  • 定义2:设是含有两个二元运算的代数系统, +和*满足交换律, 分配率, 同一律, 补元律, 那么就是一个布尔代数。同一律即a * 1 = a , b + 0 = b。 补元律即a * a' = 0, b + b' = 1。

布尔代数——有补分配格:满足以下3个条件的格

  • 满足分配律

  • 有最小元和最大元

  • 每个元素都有补元

REFERENCE

格与布尔代数

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