Abstract:逻辑代数实质是符号逻辑,布尔代数即逻辑代数,核心是类的演算。偏序关系是格的先修知识。当偏序集里的所有子集都有最大下界和最小上界时,称为格。其中有补分配格称为布尔代数(有补,分配,有界)。
逻辑代数实质是符号逻辑,德摩根与布尔算是逻辑代数的创始人,布尔代数即逻辑代数。
德摩根定律:一个组(aggregate)的反面(contrary)是各个组的反面的复合(compound);一个复合的反面是各成分的反面的组合。
外延逻辑extensional logic:类(class)的逻辑
用小写字母表示类或集合,用大写字母表述个体元素
1:万有类,0:空类或零类
xy:x,y中共有元素的集合;x + y:所有元素的集合;1 - x:x的补集;x - y:由不是y的x组成的类;xy = x:x包含在y中(x的外延小于y);等号:表示两个类的同一性
矛盾律:(),即A不能既是A又是B
排中律:,即任何东西不是A就是非A
类的演算可以解释为命题的演算:
若x与y不是类而是命题,则xy是x与y的同时肯定;而x+y是x或y或两者的肯定;x=1表示命题x为真,x=0表示命题x为假,1-x表示x的否定。
偏序:设R为非空集合A上的关系,若R是自反的,反对称的,可传递的,则称R为A上的偏序关系,简称偏序。记作。如{1,2,4,8}是偏序关系。
常见的偏序关系:
整数集合R上的小于等于、大于等于关系
幂集(所有子集)中的包含关系
正整数的整除和整倍数关系
注:一个偏序的逆关系也是偏序。
覆盖:是一个偏序集,如果对任何x, y ∈ A, 有x≤y且x≠y, 不存在其他的元素z∈A, 能够让x≤z且z小于等于y即成立,则称元素y覆盖x。
如:{1,2,4,8}中,8覆盖4,但8不能覆盖2(因为存在4∈A, 使x∈4且4≤8)
哈斯图:表示偏序关系的图。以小圈表示元素,如果有x, y∈A, x≤y且x≠y, 则把x的小圈画在y的小圈下面。而且如果y能够覆盖x的话,便在中间连上一条线(这条线的方向默认是从下往上的,所以不需要标注方向)。如:
偏序与格的概念联系非常紧密
1.设是一个偏序集合,且有Q⊆,y∈Q。
最小元: 对任意x(x∈Q)有y≤x,则y为Q的最小元,通常记作0
最大元: 对任意x(x∈Q)有x≤y,则y为Q的最大元,通常记作1
极小元: 对任意x(x∈Q)且x≤y,有x=y成立,则y为Q的极小元
极大元: 对任意x(x∈Q)且y≤x,有x=y成立,则y为Q的极大元
2.设是一个偏序集合,并有Q⊆P,y∈P
上界:对任意x(x∈Q)有x≤y,则y为Q的上界,不一定唯一,注意y只是集合中的一个元素
下界:对任意x(x∈Q)有y≤x,则y为Q的下界,不一定唯一,注意y只是集合中的一个元素
最小上界:因为上界不一定唯一,那么Q中所有的上界中最小元即为最小上界
最大下界:因为下界不一定唯一,那么Q中所有的下界中最大元即为最大下界
注意:若某子集有N个“貌似最大下界”,且它们不在一条偏序路径上,则它们不具有可比性,因此没有最大下界。
如上图,A = {2,3}无最大下界!最小上界是6.
设是一个偏序集,对P中任意元素x和y,{x,y}组成的集合都有最大下界和最小上界,则称为格。
即,所有子集都有最大下界和最小上界。attention:判断格里的子集都是二元的,{x,y}, 不能是{x, y, z}.判断是否为格:当发现找不到两个元素, 使他们没有最大上界和最小上界, 则为格.
反例:下图中{b,c}无最大下界,因为d,e不具有可比性。
格的二元运算符号:
x∧y: x与y最大下界(向上开口就是最大嘛)
x∨y: x与y最小上界(向下开口就是最小嘛)
格的二元运算满足的运算定律:
交换律,结合律,等幂律,吸收率,无分配律
如果对该格有 a∧(b∨c) = (a∧c)∨(a∧b), 即满足分配律的话, 就是分配格。
概念:对具有两个二元计算的代数系统,如果和+满足交换律,结合律,吸收率(但是不一定要对+满足分配率),那么这个代数系统构成一个格。
子格: 设构成格, L是S的非空子集, 如果L关于格中的运算∨和∧仍然能够构成格, 那么L就是S的子格。完全格:格的每个非空子集均有上下确界,则成为完全格。
有界格:若格
补元:有界格
有补格:有界格中,每一个元素都有补元,则称为有补格。
定义1:如果一个格是有补分配格,那么称为布尔代数。
定义2:设是含有两个二元运算的代数系统, +和*满足交换律, 分配率, 同一律, 补元律, 那么就是一个布尔代数。同一律即a * 1 = a , b + 0 = b。 补元律即a * a' = 0, b + b' = 1。
布尔代数——有补分配格:满足以下3个条件的格
满足分配律
有最小元和最大元
每个元素都有补元
格与布尔代数
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