达朗贝尔方程

还是从麦克斯韦方程推出电磁场的波动方程：

一.麦克斯韦方程组

①： ▽×H=J+∂D∂t ▽ × H = J + ∂ D ∂ t
②： ▽×E=−∂B∂t ▽ × E = − ∂ B ∂ t
③： ▽⋅B=0 ▽ ⋅ B = 0
④： ▽⋅D=ρ ▽ ⋅ D = ρ
其中：
D=εE D = ε E
B=μH B = μ H

二.电磁波动方程

把①②都再求一次旋度：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪▽×▽×H=▽×J+▽×∂D∂t▽×▽×E=−▽×∂B∂t { ▽ × ▽ × H = ▽ × J + ▽ × ∂ D ∂ t ▽ × ▽ × E = − ▽ × ∂ B ∂ t

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪▽(▽⋅H)−▽2H=▽×J+▽×∂D∂t▽(▽⋅E)−▽2E=−▽×∂B∂t { ▽ ( ▽ ⋅ H ) − ▽ 2 H = ▽ × J + ▽ × ∂ D ∂ t ▽ ( ▽ ⋅ E ) − ▽ 2 E = − ▽ × ∂ B ∂ t

其中：
▽×∂D∂t=▽×D∂t=ε▽×E∂t=ε−∂B∂t∂t=ε∂2B∂t2=με∂2H∂t2 ▽ × ∂ D ∂ t = ▽ × D ∂ t = ε ▽ × E ∂ t = ε − ∂ B ∂ t ∂ t = ε ∂ 2 B ∂ t 2 = μ ε ∂ 2 H ∂ t 2

▽×∂B∂t=∂▽×B∂t=μ∂▽×H∂t=μ∂(J+∂D∂t)∂t=μ∂J∂t+μ∂2D∂t2=μ∂J∂t+με∂2E∂t2 ▽ × ∂ B ∂ t = ∂ ▽ × B ∂ t = μ ∂ ▽ × H ∂ t = μ ∂ ( J + ∂ D ∂ t ) ∂ t = μ ∂ J ∂ t + μ ∂ 2 D ∂ t 2 = μ ∂ J ∂ t + μ ε ∂ 2 E ∂ t 2
辣么上式化为：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽(▽⋅H)−▽2H=▽×J+με∂2H∂t2▽(▽⋅E)−▽2E=−(μ∂J∂t+με∂2E∂t2) { ▽ ( ▽ ⋅ H ) − ▽ 2 H = ▽ × J + μ ε ∂ 2 H ∂ t 2 ▽ ( ▽ ⋅ E ) − ▽ 2 E = − ( μ ∂ J ∂ t + μ ε ∂ 2 E ∂ t 2 )

又 ∵ ∵ ③和④
于是：

▽(▽⋅H)=0 ▽ ( ▽ ⋅ H ) = 0
▽(▽⋅E)=▽(ρε) ▽ ( ▽ ⋅ E ) = ▽ ( ρ ε )

式子又简化成：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪−▽2H=▽×J+με∂2H∂t2▽(ρε)−▽2E=−(μ∂J∂t+με∂2E∂t2) { − ▽ 2 H = ▽ × J + μ ε ∂ 2 H ∂ t 2 ▽ ( ρ ε ) − ▽ 2 E = − ( μ ∂ J ∂ t + μ ε ∂ 2 E ∂ t 2 )

再弄成右边只有源且排列整齐：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽2H−με∂2H∂t2=−▽×J▽2E−με∂2E∂t2=▽(ρε)+μ∂J∂t { ▽ 2 H − μ ε ∂ 2 H ∂ t 2 = − ▽ × J ▽ 2 E − μ ε ∂ 2 E ∂ t 2 = ▽ ( ρ ε ) + μ ∂ J ∂ t

然后就是两个规范：

三.矢量磁位和标量电位

⑤库伦规范： B=▽×A B = ▽ × A
⑥洛伦兹规范： ▽⋅A+με∂φ∂t=0 ▽ ⋅ A + μ ε ∂ φ ∂ t = 0
其中 A A 是矢量磁位， φ φ 是标量电位

为什么我们要弄个什么矢量磁位和标量电位的呢？
你看，上面那些源不是求散度就是求旋度，正常情况下根本就不好求，所以才会有这样一种东西～
现在将⑤代入②会得到：
▽×E=−▽×∂A∂t ▽ × E = − ▽ × ∂ A ∂ t
即：
▽×(E+∂A∂t)=0 ▽ × ( E + ∂ A ∂ t ) = 0
但是这种不好看，想写成这样：
▽×▽φ=0 ▽ × ▽ φ = 0
当 E=−▽φ−∂A∂t E = − ▽ φ − ∂ A ∂ t 就好了
这样 E E 和 B B 都阔以用 A A 和 φ φ 表示了

于是，把 E E 和 B B 他们代入到有源的①和④两个式子里
最后写出来就是这样的：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽2A−με∂2A∂t2=−μJ▽2φ−με∂2φ∂t2=−ρε { ▽ 2 A − μ ε ∂ 2 A ∂ t 2 = − μ J ▽ 2 φ − μ ε ∂ 2 φ ∂ t 2 = − ρ ε

对比一下，是不是后一个非常简介呢：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽2H−με∂2H∂t2=−▽×J▽2E−με∂2E∂t2=▽(ρε)+μ∂J∂t { ▽ 2 H − μ ε ∂ 2 H ∂ t 2 = − ▽ × J ▽ 2 E − μ ε ∂ 2 E ∂ t 2 = ▽ ( ρ ε ) + μ ∂ J ∂ t

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪▽2A−με∂2A∂t2=−μJ▽2φ−με∂2φ∂t2=−ρε { ▽ 2 A − μ ε ∂ 2 A ∂ t 2 = − μ J ▽ 2 φ − μ ε ∂ 2 φ ∂ t 2 = − ρ ε

后两个就叫做”达朗贝尔方程”