[CEOI2004]锯木厂选址 [斜率优化]

这个题就是个简单的斜率优化DP的入门题

我们先写出朴素的DP方程式：

dp[i]=totsum−dis[j]∗sum[j]−dis[i]∗(sum[i]−sum[j])(j<i) d p [ i ] = t o t s u m − d i s [ j ] ∗ s u m [ j ] − d i s [ i ] ∗ ( s u m [ i ] − s u m [ j ] ) ( j < i )

其中 dp[i] d p [ i ] 表示当前第二个工厂修到第 i i 棵树的位置时的最小花费， totsum t o t s u m 表示所有树一开始全部运送的山脚下的花费， dis[i] d i s [ i ] 表示距离的后缀和(因为我们是从上运到下面)， sum[i] s u m [ i ] 表示树的重量的前缀和。那么在 i,j i , j 处修了工厂后花费就变成了总花费 totsum t o t s u m 减去从 j j 厂运到山脚的额外花费 dis[j]∗sum[j] d i s [ j ] ∗ s u m [ j ] ，再减去从 i i 厂运到山脚下的额外花费 dis[i]∗(sum[i]−sum[j]) d i s [ i ] ∗ ( s u m [ i ] − s u m [ j ] ) 。

形象的说，就是你先把 j j 前面的木材运到 j j 厂，然后减去这些木材运到山脚的花费，再把 i,j i , j 之间的木材运到 i i 厂，再减去它们到山脚的花费。

然后我们将DP方程式变形,令 j,k(j<k) j , k ( j < k ) 这两种决策转移到 i i 的时候， k k 决策更优秀，那么就可以得到 totsum−dis[j]∗sum[j]−dis[i]∗(sum[i]−sum[j])>totsum−dis[k]∗sum[k]−dis[i]∗(sum[i]−sum[k]) t o t s u m − d i s [ j ] ∗ s u m [ j ] − d i s [ i ] ∗ ( s u m [ i ] − s u m [ j ] ) > t o t s u m − d i s [ k ] ∗ s u m [ k ] − d i s [ i ] ∗ ( s u m [ i ] − s u m [ k ] )

整理后可以得出： dis[j]∗sum[j]−dis[k]∗sum[k]sum[j]−sum[k]>dis[i] d i s [ j ] ∗ s u m [ j ] − d i s [ k ] ∗ s u m [ k ] s u m [ j ] − s u m [ k ] > d i s [ i ]

然后因为斜率 dis[i] d i s [ i ] 是随着 i i 的增加而变小的，所以我们根据斜率维护一个上凸壳，因为是单调的，所以用一个队列就可以了。

丑陋代码新鲜出炉~~~

代码中的sum就是totsum，s[i]就是sum[i],d[i]就是dis[i].

#include
#include
#include
#define db double
using namespace std;
const int M=3e4+1;
int n;
int q[M],fi,la,ans=2e9+1;
int sum,s[M],d[M],w[M];
db calc(int j,int k){return 1.0*(d[j]*s[j]-d[k]*s[k])/(s[j]-s[k]);}
int count(int i,int j){return sum-d[j]*s[j]-d[i]*(s[i]-s[j]);}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",&w[i],&d[i]);}
    for(int i=n;i>=1;i--) d[i]+=d[i+1];
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+w[i],sum+=d[i]*w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while(fi1])>d[i]) ++fi;
        ans=min(ans,count(i,q[fi]));
        while(fi1],q[la])printf("%d\n",ans);
    return 0;
}