[ARC095F]Permutation Tree

最近刷AtCoder，觉得刷得挺爽的，每次的F题都有一定难度，但是却还是挺可做的>_<反正AtCoder对于我这种英文不好的选手来说非常友善，看一眼就读完题面了

题意

Takahashi有一种能力以以下步骤用一个排列 (p1,p2,⋯,pn) ( p 1 , p 2 , ⋯ , p n ) 来生成一棵树：

首先，按照以下操作准备顶点 1⋯N 1 ⋯ N 。对于顶点 i i ：

• 如果 pi=1 p i = 1 ，什么都不做
• 如果 pi≠1 p i ≠ 1 ，让 j′ j ′ 表示最大的满足 pj<pi p j < p i 的 j j 。在 j′ j ′ 和 i i 之间连一条边

给出按照这个过程建立的一棵树，判定是否能够用另外一个排列做出一棵与此同构的树，问这个要求字典序最小的排列应该是什么，无解输出 −1 − 1 。
1≤n≤105 1 ≤ n ≤ 10 5

分析

考虑我们将这个操作的过程改写成：一开始全是黑点，然后我们将 pi p i 按照升序排列，考虑为原来的 i i 。然后我们令一个 max=−1 m a x = − 1 ，考虑从左到右扫一遍，如果发现 i>max i > m a x ，那么将 i i 染红，并将 max m a x 替换成 i i ；如果当前的 pi≠1 p i ≠ 1 ，那么连边（注意一下，原来的过程那里， j j 并不一定小于 i i ……这里是对于全局的……）。
这个过程符合原来的性质，因为每次和某个点连接的红点，肯定是比 pi p i 小，而且最接近。这时候我们会发现，我们得到的这个红点之间的链，相当于一条“直径”的东西，然后剩下的黑点都向着这个直径上连边，而且显然黑点之间没有边。
实际上按照原来的过程也可以感受出来，某一个 pi p i 很小但是 i i 很大的点，可能会能够“占领”一大堆点，直到某一个 i i 更大的点出现。
这样的图是一个“毛虫图”。如果给定的图不是一个“毛虫图”，那肯定不对，这和我们刚刚证明的不一样……至于要字典序最小，那直接反向构造即可。