二分图匹配问题——匈牙利算法和KM算法

二分图

二分图的概念

二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 
设G=(V, E)是一个无向图。如果顶点集V可分割为两个互不相交的子集X和Y，并且图中每条边连接的两个顶点一个在X中，另一个在Y中，则称图G为二分图。 

二分图的性质

定理：当且仅当无向图G的每一个回路的次数均是偶数时，G才是一个二分图。如果无回路，相当于任一回路的次数为0，故也视为二分图。

二分图的判定

如果一个图是连通的，可以用如下的方法判定是否是二分图： 
在图中任选一顶点v，定义其距离标号为0，然后把它的邻接点的距离标号均设为1，接着把所有标号为1的邻接点均标号为2（如果该点未标号的话），如图所示，以此类推。 
标号过程可以用一次BFS实现。标号后，所有标号为奇数的点归为X部，标号为偶数的点归为Y部。 
接下来，二分图的判定就是依次检查每条边，看两个端点是否是一个在X部，一个在Y部。 
如果一个图不连通，则在每个连通块中作判定。 

二分图匹配

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。 
图中加粗的边是数量为2的匹配。 

最大匹配

选择边数最大的子图称为图的最大匹配问题(maximal matching problem) 
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。 
图中所示为一个最大匹配，但不是完全匹配。 

增广路径

增广路径的定义：设M为二分图G已匹配边的集合，若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径（P的起点在X部，终点在Y部，反之亦可），并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

 

趣写算法系列之--匈牙利算法（点击打开链接）：

 

【书本上的算法往往讲得非常复杂，我和我的朋友计划用一些简单通俗的例子来描述算法的流程】

 

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

-------等等，看得头大？那么请看下面的版本：

 

通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

 

本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：

===============================================================================

一： 先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线

 

===============================================================================

二：接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it

 

===============================================================================

三：接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。

 

(黄色表示这条边被临时拆掉)

 

与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配()重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)

 

 

此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

 

2号男生可以找3号妹子~~~                  1号男生可以找2号妹子了~~~                3号男生可以找1号妹子

所以第三步最后的结果就是：

 

===============================================================================

四： 接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。

 

===============================================================================

这就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个递归的过程，最最关键的字就是“腾”字

其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上

bool find(int x){
    int i,j;
    for (j=1;j<=m;j++){    //扫描每个妹子
        if (line[x][j]==true && used[j]==false)      
        //如果有暧昧并且还没有标记过(这里标记的意思是这次查找曾试图改变过该妹子的归属问题，但是没有成功，所以就不用瞎费工夫了）
        {
            used[j]=1;
            if (girl[j]==0 || find(girl[j])) { 
                //名花无主或者能腾出个位置来，这里使用递归
                girl[j]=x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}
 

在主程序我们这样做：每一步相当于我们上面描述的一二三四中的一步

for (i=1;i<=n;i++)
{
    memset(used,0,sizeof(used));    //这个在每一步中清空
    if find(i) all+=1;
}

说穿了，就是你从二分图中找出一条路径来，让路径的起点和终点都是还没有匹配过的点，并且路径经过的连线是一条没被匹配、一条已经匹配过，再下一条又没匹配这样交替地出现。找到这样的路径后，显然路径里没被匹配的连线比已经匹配了的连线多一条，于是修改匹配图，把路径里所有匹配过的连线去掉匹配关系，把没有匹配的连线变成匹配的，这样匹配数就比原来多1个。不断执行上述操作，直到找不到这样的路径为止。

KM算法

最佳匹配

什么是完美匹配

如果一个二分图，X部和Y部的顶点数相等，若存在一个匹配包含X部与Y部的所有顶点，则称为完美匹配。 
换句话说：若二分图X部的每一个顶点都与Y中的一个顶点匹配，**并且**Y部中的每一个顶点也与X部中的一个顶点匹配，则该匹配为完美匹配。

什么是完备匹配

如果一个二分图，X部中的每一个顶点都与Y部中的一个顶点匹配，**或者**Y部中的每一个顶点也与X部中的一个顶点匹配，则该匹配为完备匹配。

什么是最佳匹配

带权二分图的权值最大的完备匹配称为最佳匹配。

二分图的最佳匹配不一定是二分图的最大权匹配。 

转化

可以添加一些权值为0的边，使得最佳匹配和最大权匹配统一起来。 

KM算法

求二分图的最佳匹配有一个非常优秀的算法,可以做到O(N^3),这就是KM算法。该算法描述如下：

1.首先选择顶点数较少的为X部，初始时对X部的每一个顶点设置顶标，顶标的值为该点关联的最大边的权值，Y部的顶点顶标为0。

2.对于X部中的每个顶点，在相等子图中利用匈牙利算法找一条增广路径，如果没有找到，则修改顶标，扩大相等子图，继续找增广路径。当每个点都找到增广路径时，此时意味着每个点都在匹配中，即找到了二分图的完备匹配。该完备匹配即为二分图的最佳匹配。

什么是相等子图呢？因为每个顶点有一个顶标，如果我们选择边权等于两端点的顶标之和的边，它们组成的图称为相等子图。

如果从X部中的某个点Xi出发在相等子图中没有找到增广路径，我们是如何修改顶标的呢？如果我们没有找到增广路径，则我们一定找到了许多条从Xi出发并结束于X部的匹配边与未匹配边交替出现的路径，姑且称之为交错树。我们将交错树中X部的顶点顶标减去一个值d，交错树中属于Y部的顶点顶标加上一个值d。这个值后面要讲它如何计算。那么我们会发现：

• 两端都在交错树中的边(i,j)，其顶标和没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。

• 两端都不在交错树中的边(i,j)，其顶标也没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。

• X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的顶标和会增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。

• X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j),它的顶标和会减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。

• 我们修改顶标的目的就是要扩大相等子图。为了保证至少有一条边进入相等子图，我们可以在交错树的边中寻找顶标和与边权之差最小的边,这就是前面说的d值。将交错树中属于X部的顶点减去d，交错树中属于Y部的顶点加上d。则可以保证至少有一条边扩充进入相等子图。

3.当X部的所有顶点都找到了增广路径后，则找到了完备匹配，此完备匹配即为最佳匹配。

相等子图的若干性质

1. 在任意时刻，相等子图上的最大权匹配一定小于等于相等子图的顶标和。
2. 在任意时刻，相等子图的顶标和即为所有顶点的顶标和。
3. 扩充相等子图后，相等子图的顶标和将会减小。
4. 当相等子图的最大匹配为原图的完备匹配时，匹配边的权值和等于所有顶点的顶标和，此匹配即为最佳匹配。

代码

bool dfs(int s) //匈牙利算法找增广路径
{
    visx[s]=1;
    for(int i=1;i<=cnty;i++) 
        if(!visy[i]){
            int t=wx[s]+wy[i]-dis[s][i];
            if(t==0) {
                visy[i]=1;
                if(linky[i]==0||dfs(linky[i])){
                    linkx[s]=i,linky[i]=s;
                    return true;
                }
            }
            else if(t>0)  //找出边权与顶标和的最小的差值
            {
                if(t

参考：

https://blog.csdn.net/c20180630/article/details/70175814

https://blog.csdn.net/cillyb/article/details/55511666

https://blog.csdn.net/c20180630/article/details/71080521