最大子列和问题（C语言版 + 四种方法）

给定K个整数组成的序列{ N​1​​, N​2​​, ..., N​K​​ }，“连续子列”被定义为{ N​i​​, N​i+1​​, ..., N​j​​ }，其中 1≤i≤j≤K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：

• 数据1：与样例等价，测试基本正确性；
• 数据2：102个随机整数；
• 数据3：103个随机整数；
• 数据4：104个随机整数；
• 数据5：105个随机整数；

输入格式:

输入第1行给出正整数K (≤100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出格式:

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例:

6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例:

20

 我先贴一个main()函数，每个不同的方法printf()那里改一下函数名即可。

#include 
#define MAXN 100000    //本题最大数据是十万
int main(void) {
	int K, i;
	int a[MAXN] = {0};
	
	scanf("%d", &K);
	for ( i = 0; i < K; i++ )
		scanf("%d", &a[i]);
	printf("%d", MaxSubseqSum1( a, K ));    //不同方法此处修改函数名即可。
	
	return 0;
}

 

法一：三重循环。第一重标记子列最左端，第二重标记子列最右端，第三重由子列左端累加到子列右端。

int MaxSubseqSum1 ( int A[], int N ) {
	int ThisSum, MaxSum = 0;
	int i, j, k;
	
	for ( i = 0; i < N; i++ ) {    //i是子列左端位置。
		for ( j = i; j < N; j++ ) {    //j是子列右端位置。
			ThisSum = 0;    //    每轮都要把ThisSum归零，累加新一轮的子列和。
			for ( k = i; k < j; k++ )    //将A[i]~A[j]累加，得到子列和。
				ThisSum += A[k];
			if ( ThisSum > MaxSum )    //如果这轮的子列和比最大子列和还大，存入MaxSum.
				MaxSum = ThisSum;
		}
	}
	
	return MaxSum;
}

法一结果：T(n) = O(n3)

 

 法二：二重循环。对于相同的子列左端位置 i ，不同的右端位置 j ，我们只要每次在右端累加一项，即可求得每一个子列和。

int MaxSubseqSum2 ( int A[], int N ) {
	int ThisSum, MaxSum = 0;
	int i, j;
	
	for ( i = 0; i < N; i++ ) {    //i是子列左端位置。
		ThisSum = 0;    //A[i]~A[j]的子列和。
		for ( j = i; j < N; j++ ) {    //j是子列右端位置。
			ThisSum += A[j];    //对于相同的i，不同的j，只要在j-1处再累加1项即可。
		if ( ThisSum > MaxSum )    //更新MaxSum.
			MaxSum = ThisSum;
		}
	}
	
	return MaxSum;
}

法二结果：虽然全部答案正确，但是数据为10万的时候，时间有点长3748ms。T(n) = O(n2)

 

 方法三：分而治之。

1. 将序列从中分为左右两个子序列。
2. 递归求得两个子列的最大和。
3. 从中分点分头向左、右两边扫描，找出跨过分界线的最大子列和。
4. 输出这三个子列和最大的一个。

图示：

代码：

/*返回三个整数的最大值*/
int Max3 ( int A, int B, int C ) {
	return (A > B) ? (A > C ? A : C) : (B > C ? B : C);
}
/*分治法球List[left]到List[right]的最大子列和*/
int DivideAndConquer ( int List[], int left, int right ) {
	int MaxLeftSum, MaxRightSum;    //存放左右子问题的解。
	int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum;    //存放跨分界线的结果。
	
	int LeftBorderSum, RightBorderSum;
	int center, i;
	
    /*递归的终止条件，子列只有1个数字*/
	if ( left == right ) {
		if ( List[left] > 0 )	return List[left];
		else return 0;
	}
	
    /* “分”的过程 */
	center = ( left + right ) / 2;    //找到中分点。
	MaxLeftSum = DivideAndConquer ( List, left, center );    //递归求左子列和。
	MaxRightSum = DivideAndConquer ( List, center+1, right );    //递归求右子列和。
	
    /*求跨分界线的最大子列和*/
	MaxLeftBorderSum = 0;	LeftBorderSum = 0;
	for ( i = center; i >= left; i-- ) {
		LeftBorderSum += List[i];
		if ( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )
			MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
	}//左边扫描结束。
	
	MaxRightBorderSum = 0;	RightBorderSum = 0;
	for ( i = center+1; i <= right; i++ ) {
		RightBorderSum += List[i];
		if ( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )
			MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
	}//右边扫描结束。
	
    /*返回“治”的结果*/
	return Max3 ( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );
}
/*此函数用于保持接口相同*/
int MaxSubseqSum3 ( int List[], int N ) {
	return DivideAndConquer ( List, 0, N-1 );
}

 法三结果：T(n) = O(nlogn)

 

 

法四：在线处理。

int MaxSubseqSum4( int A[], int N ) {
    int ThisSum, MaxSum, i;
    
    ThisSum = MaxSum = 0;
    for( i = 0; i < N; i++ ) {
          ThisSum += A[i]; /* 向右累加 */
          if( ThisSum > MaxSum )
                  MaxSum = ThisSum; /* ·发现更大和则更新当前结果 */
          else if( ThisSum < 0 ) /* 如果当前子列和为负数 */
                  ThisSum = 0; /* 则不可能使后面的部分和增大，抛弃之 */
    }
    
    return MaxSum;  
}

法四结果：T(n) = O(n). 速度最快为20ms，但是跟nlogn的23ms也差不多，看来logn真的是一个很小的数。