信噪比（一些概念，公式推导，实验分析）

文章解释了几个简单的信噪比公式并给出了相关推导和实验分析

Signal-to-noise ratio 概念

信噪比定义为信号能量与噪声能量的比值:
SNR=PsignalPnoise
P是一个平均能量，信号与噪声的能量必须在同一个系统下测量，且保证一定的系统带宽.

如果信号和噪声的方差已知，且信号是0均值。
SNR=σ2signalσ2noise.

如果信号和噪声时在同一条件下测得，那么也可以通过计算幅值平方比值获得信噪比
SNR=PsignalPnoise=(AsignalAnoise)2,

推导

Psignal,dB=10log10(Psignal)

Pnoise,dB=10log10(Pnoise).

SNRdB=10log10(SNR).

SNRdB=10log10(PsignalPnoise).

10log10(PsignalPnoise)=10log10(Psignal)−10log10(Pnoise).

SNRdB=Psignal,dB−Pnoise,dB.

SNRdB=10log10⎡⎣(AsignalAnoise)2⎤⎦=20log10(AsignalAnoise)=(Asignal,dB−Anoise,dB).

实验分析

通过信号输入，加噪，观察加噪时sigma选择的准确性，以及信号能量，噪声信号能量，顺便验证帕塞瓦尔能量定律。

nois = sqrt(sigma)*randn(size(s));
sn = s+nois;
temps = sum(s.^2)/2^N;
tempsn = sum(sn.^2)/2^N;
display(sigma);
tempvs = var(s')
tempvsn = var(sn')
tempd = tempsn-temps
tempfs = fft(s);
tempfsn = fft(sn);
tempfsf = sum(abs(tempfs./2^N).^2)
tempfsnf  =sum(abs(tempfsn./2^N).^2)
tempdf  = tempfsnf - tempfsf

代码说明：s为输入信号（随意选择）,sn为带噪信号,平台为matlab 2015a，这里的sigma实则为 σ2

结果展示：

sigma =

    0.1000


tempd =

    0.0971


tempfsf =

    0.9990


tempfsnf =

    1.0961


tempdf =

    0.0971

K>> tempvs = var(s')%验证用方差计算能量的正确性
tempvsn = var(sn')

tempvs =

    1.0000


tempvsn =

    1.0972

证毕

讲究匠心，追求卓越！