图像处理理论（三）——双边滤波, Steerable滤波, Gabor滤波, Schmid滤波

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双边滤波（Bilateral filter）

双边滤波（Bilateral filter）是一种可以保边去噪的滤波器。其输出像素的值依赖于邻域像素的值的加权组合，即：

g(i,j)=∑k,lf(k,l)w(i,j,k,l)∑k,lw(i,j,k,l)

也就是：

h=w(i,j,k,l)∑k,lw(i,j,k,l)

其中，

w(i,j,k,l)=d(i,j,k,l)⋅r(i,j,k,l)=exp(−(i−k)2+(j−l)22σ2d)⋅exp(−∥f(i,j)−f(k,l)∥22σ2r)

这里的 d(i,j,k,l) 由于只与定义域有关，通常叫做“定义域核”。实际上，这就是一个高斯滤波核。而 r(i,j,k,l) 由于和像素值的差有关（像素差越大，权重越小），也被叫做“值域核”。

从效果来说，双边滤波可产生类似美肤的效果。皮肤上的皱纹和斑，与正常皮肤的差异，远小于黑白眼珠之间的差异，因此前者被平滑，而后者被保留。

为了体现效果，这里来张大叔的照片。

Steerable滤波

高斯滤波是一种各向同性滤波，如果想要对特定方向进行滤波的话，可使用Steerable滤波。

对最简二维高斯函数 G(x,y)=e−(x2+y2) 求1阶偏导可得：

G01=∂G(x,y)∂x=−2xe−(x2+y2),Gπ21=∂G(x,y)∂y=−2ye−(x2+y2)

这就是两个轴向上的1阶Steerable滤波函数。

任意角度的1阶Steerable滤波函数为：

Gθ1=cosθG01+sinθGπ21

如果对高斯函数求2阶偏导,还可得到2阶Steerable滤波函数。进一步的讨论详见参考论文。

参考：

1991年IEEE论文：The Design and Use of Steerable Filters

作者：William T. Freeman，斯坦福大学本科+斯坦福/康奈尔大学双料硕士+麻省理工学院博士，麻省理工学院教授。1987年，曾做为访问学者在太原理工大学待了一学年。不知道爱不爱吃刀削面(^ω^)

Edward H. Adelson，密歇根大学博士，麻省理工学院教授。

Gabor滤波

基、线性无关、正交

一般的函数可以展开为幂级数或者Fourier级数。这些级数中的幂函数或者正弦函数，被称作“基(basis)函数”。

基的属性主要涉及“线性无关”和“正交”这两个名词。

线性无关的几何含义：在 R3 (3维空间)中，如果三个向量不共面，则它们相互线性无关。

基如果线性无关，则其函数的级数展开式是唯一的。由于线性相关基使用的比较少，以下如无特指，基均为线性无关基。

正交的几何含义：两个向量正交，则它们是相互垂直的。

正交基一定线性无关，反之则不成立。一般采用施密特正交化方法，将线性无关基，转换为正交基。

幂级数是线性无关基，而Fourier级数是正交基。

Gabor wavelet

除了以上两种常用的基函数外，其他函数也可以作为基函数。其中使用最多的基函数是小波(wavelet)函数，其变换也被称作小波变换。

需要指出的是，小波函数不是一个函数，而是一类函数。Gabor函数就是小波函数的其中一种，其定义如下：

gt,n(x)=g(x−al)e2πibnx,−∞<l,n<+∞

这里的 a,b 为常数， g 为 L2(R) (立方可积函数)，且 ∥g∥=1 。

注：Dennis Gabor（1900~1979），全息学创始人，1971年获诺贝尔物理学奖，著有《Theory of Communication》（1946）。

当 g 为高斯函数时，可得到Gabor wavelet：

f(x)=e−(x−x0)2/a2e−ik0(x−x0)

Gabor wavelet的性质：

1.Gabor wavelet的Fourier变换还是Gabor wavelet：

F(k)=e−(k−k0)2a2e−ix0(k−k0)

2.从物理上来说，Gabor wavelet等效于在一个正弦载波（频域）上，调制一个高斯函数（时空域）。这也是Dennis Gabor最早提出它的时候的用途。

3.Fourier变换是信号在整个时域内的积分，因此反映的是信号频率的统计特性，没有局部化分析信号的功能。而Gabor变换是一种短时Fourier变换，具有良好的时频局部化特性，即非常容易地调整Gabor滤波器的方向、基频带宽及中心频率，从而能够最好的兼顾信号在时空域和频域中的分辨能力。

Gabor filter

将Gabor wavelet扩展到2维，可得到Gabor filter(图像实际上就是一种2维信号)：

g(x,y;λ,θ,ψ,σ,γ)=exp(−x′2+γ2y′22σ2)exp(i(2πx′λ+ψ))

其中，

x′=xcosθ+ysinθ,y′=−xsinθ+ycosθ

λ ：正弦函数波长； θ ：Gabor核函数的方向； ψ ：相位偏移； σ ：高斯函数的标准差； γ ： 空间的宽高比。

可以看出Gabor filter是一个复函数，其实部为：

g(x,y;λ,θ,ψ,σ,γ)=exp(−x′2+γ2y′22σ2)cos(2πx′λ+ψ)

其虚部为：

g(x,y;λ,θ,ψ,σ,γ)=exp(−x′2+γ2y′22σ2)sin(2πx′λ+ψ)

此外，还有对数Gabor函数：

G(f)=exp(−(log(f/f0))22(log(σ/f0))2)

Gabor滤波的效果

参考文献3，给出了Gabor滤波的效果图，如下所示：

图1

从效果来看，该滤波可获得美术上的浮雕效果。但实际上，大多数的边缘检测算法都可得到类似效果，这并不是Gabor滤波的主流用法。

以下对参考文献3做一个补充说明：

1.Gabor滤波是复数域的，这点和之前提到的滤波算法有很大的不同。因此，Gabor滤波计算核的方法有3种：复数、实部和虚部。参考文献3采用的是实部法。1987年，J.P. Jones和L.A. Palmer发现Gabor变换所采用的核（Kernels）的实部与哺乳动物视觉皮层简单细胞2D感受野剖面（Profile）非常相似。

2.实部计算的结果有正有负。参考文献3给出的归一化算法，很有通用性，摘录如下：

G(x,y)=(f(x,y)−min(F))∗Dmax(F)−min(F)

其中，F为源图像所有像素的集合，D为总的灰度级数。

Gabor滤波采样方式与图像压缩

Gabor滤波和之前的滤波算法的另一大差异是：Gabor滤波核不是一个，而是由若干不同参数组合而成的一组核，其中的每一个参数组合被称为一个采样点。

从Gabor filter的计算公式亦可看出，组成采样点的参数，既有时空域参数，也有频域参数。这些采样点在时空域和频域中如何分布，才能达到最终效果呢？

由于Gabor filter不是正交基，因此针对采样点分布提出了Tight Frame的概念。参考文献1给出了满足Tight Frame要求的采样点分布方式（简称采样方式）的条件。这里的推导非常复杂，但从概念上可以类比信号处理中的奈奎斯特采样定理。

Tight Frame有个重要特性：

如果采样方式满足Tight Frame条件，且 图像集B=Gabor(图像A),图像C=Gabor−1(图像集B) ，那么 图像A≈图像C 。其中的 Gabor 和 Gabor−1 分别表示Gabor变换及其逆变换。

参考文献2给出了采用上述方法对Lena图进行压缩并还原的例子。这也是Gabor滤波在图像处理领域的早期典型应用。

Gabor滤波与模式识别

图2

2000年以后，科学界对Gabor滤波的研究，主要集中在模式识别方面。比如图2就是参考文献4中给出的人脸识别方面的Gabor滤波效果图。其中，左边是原图，而右边是40组不同参数的Gabor滤波器所得到的滤波效果图。

注：1幅原图变成40幅滤波效果图的过程，在数学上是个升维过程。在后处理阶段为了处理的方便，往往会进行数据降维，如参考文献5所示。

从中还可以看出，虽然图1显示出一定的艺术处理效果，但大多数情况下，Gabor滤波所得的图像是如图2所示的极度扭曲而无明显意义的图片。Gabor滤波的真正用途，并不是给人看，而是给机器看。

从上面的讨论可知，Gabor滤波是一种带通滤波，使用不同的时空域或频域参数，可以过滤出不同的时空域或频域特征。这些特征正是模式识别所需要的。

图3

图3是参考文献4给出的一种Gabor滤波器的使用场景图，从中可以看出Gabor滤波效果图是如何应用到人脸识别技术中的。

必须指出的是：Gabor滤波效果图的后处理方法有很多种，而图3仅是其中一种而已。

参考

1.1996年IEEE论文：Image Representation Using 2D Gabor Wavelets

作者：Tai Sing Lee，哈佛大学博士，卡内基梅隆大学教授。

2.1988年IEEE论文：Complete Discrete 2-D Gabor Transforms by Neural Networks for Image Analysis and Compression

作者：JohnG. Daugman，哈佛大学博士，剑桥大学教授。

3.http://blog.csdn.net/xiaowei_cqu/article/details/24745945

4.Face recognition using Ada-Boosted Gabor features

作者：Peng Yang，Shiguang Shan，Wen Gao，Stan Z. Li，Dong Zhang，中科院计算所和微软亚洲研究院的几个小牛。

5.http://www.cnblogs.com/Jack-Lee/p/3649114.html

Schmid滤波

Schmid滤波器是一种类Gabor滤波器。其计算公式为：

F(r,σ,τ)=1Zcos(2πτrσ)e−r22σ2

下图是Schmid滤波器和Gabor滤波器的“核”图像。“核”图像是滤波器“核”函数的图像化展示。

其中，前13个是Schmid滤波器，后8个是Gabor滤波器。“核”图像中的白色部分，实际上就是该滤波器的带通部分。

从中可以看出，Gabor滤波器有方向性，而Schmid滤波器是各向同性的。

参考

2010年IEEE论文：Constructing models for content-based image retrieval

作者：Cordelia Schmid，女，卡尔斯鲁厄理工学院博士。现在INRIA（法国国家信息与自动化研究所）从事研究工作。