【线性代数】矩阵的迹运算

定义

矩阵的迹运算是对矩阵对角线上的元素进行求和，即

Tr(A)=∑iAi,i T r ( A ) = ∑ i A i , i

用途

一个是，使得很多矩阵运算变得易于描述，比如

• 矩阵的 Fronenius 范数 可以表示为 ∥A∥F=Tr(AAT)−−−−−−−−√ ‖ A ‖ F = T r ( A A T )
• 用迹运算来构造有用的等式，例如 Tr(A)=Tr(AT) T r ( A ) = T r ( A T )

性质

多个矩阵的乘积的迹，和将这些矩阵中最后一个挪到最前面之后的乘积的迹是相同的。当然，这要在保证挪动之后矩阵乘积依旧定义良好

Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA) T r ( A B C ) = T r ( C A B ) = T r ( B C A )

.或者更一般的表达为

Tr(∏i=1nF(i))=Tr(F(n)∏i=1n−1Fi) T r ( ∏ i = 1 n F ( i ) ) = T r ( F ( n ) ∏ i = 1 n − 1 F i )

, 这说明循环置换后乘积的结果矩阵虽然形状变了，但是迹运算的结果是不变的。

• 还有一个好玩儿的，标量可以看做 1 x 1 的矩阵，迹运算之后还是它本身 a=Tr(a) a = T r ( a ) .