PE 394 【期望】【欧拉方程】

题目大意：有一个圆，每次等概率的从圆上选两个点，与圆心连线形成三份，拿走前面两份，问期望多少次使剩下的部分 <=140 ,即 E(40)

换了一个式子，感觉好推多啦~
因为求的是 <=1x 的期望，假如我得到了 y>1x ,那么下一次就是求 E(xy) ，这样我们就可以得到

E(x)=1+∫11x(2−2y)E(xy)dy=1+2x∫x1E(y)dy−2x2∫x1yE(y)dy

将上式两边同时乘上 R2 ,再进行两次微分可得

x2E′′(x)+4xE′(x)=2

这是二阶非齐次欧拉方程
特征方程 : r(r−1)y+4y=0
得到两个不等特征根 : r1,2=0,−3
可得到通解： y=13(∫2x−1dx−x−3∫2x2dx)=13(2lnx+2c1−23−2c21x3)
带入得

E(x)=23lnx+29x3+79

总算弄出来了呢QAQ
感觉自己要学的东西好多，从哪里开始呢…

【答案】3.2370342194