矩阵的一些常用结论

矩阵有时候有一些常用的结论与性质，如果有一段时间不接触或者实际中没使用到，很容易就会遗忘。因此，特意做一个小小的总结，方便使用与查询。

1.矩阵 A 的全部特征值的集合通常被称为 A 的谱。
2. |A|=λ1λ2⋯λn ，或者时候 A 的行列式为所有特征值的乘积。
3. ∑ni=1aii=∑ni=1λi

矩阵 A 的主对角线上的所有元素和 ∑ni=1aii 被称为矩阵的迹，记为 trA 。于是，上面的第3条又可以记为:

4. trA=∑ni=1λi
5.矩阵 A 与 AT 有相同的谱。
6.如果 A ， B 是两个n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵 P ， P−1AP=B ，则成 A 与 B 相似，记为 A∼B ， P 为 A 到 B 的相似变换矩阵。
7.如果 A∼B ，则:

|λI−B|=|λI−P−1AP|=|P−1(λI−A)P|=|λI−A|

由上易知，如果 A∼B ，则矩阵 A ， B 有相同的谱。
8.n阶方阵 A 可以相似对角化的充要条件是 A 有n个线性无关的特征向量。

9. A 为n阶方阵， A 的特征多项式为:

det(λI−A)=(λ−λ1)m1(λ−λ2)m2⋯(λ−λs)ms

其中， mi 均为正整数， ∑si=1=n ， λ1,λ2,⋯,λs 为 A 的不同特征值， mi 为特征值 λi 的代数重数记为 pi 。特征值 λi 对应的全部特征向量正好是特征方程组 (λiI−A)X=0 的全部非0解。因此， A 属于特征值 λi 的线性无关的特征向量最多有 n−r(λiI−A) 个，这个数也就是特征方程组 (λiI−A)X=0 的一组基础解系中所含有解向量的个数，即解空间的位数，被称为特征值 λi 的几何重数，记为 qi 。

10.设 λ1,λ2,⋯,λs 为 A 的全部互异的特征值， pi ， qi 分别为特征值 λi 的代数重数与几何重数， i=1,2,⋯,s 。则矩阵 A 可以相似对角化的虫咬条件是:

pi=qi,i=1,2,⋯,s

11.实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的。
12. λ0 是n阶实堆成矩阵 A 的任一特征值，p,q分别为它的代数重数与几何重数，有 p=q 。
13.由前面一条结论可知，对任一n阶实对称矩阵 A ，存在n阶正交矩阵 Q ，有

Q−1AQ=diag(λ1,λ2,⋯,λs)