CF1109F Sasha and Algorithm of Silence's Sounds LCT、线段树

传送门

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构成一棵树可以分成两个限制：图不成环、图的点数-边数=1。

我们考虑枚举右端点\(r\)计算所有可能的左端点\(l\)的答案。我们先考虑第一个限制：图不成环。注意到当\(r\)确定的时候，满足这个条件的\(l\)一定是一段后缀。设\(p_r\)表示满足图不成环时最小的\(l\)，还可以发现\(p_r\)是单调不降的。那么我们可以使用双指针维护，在\(r\)增加\(1\)的时候使用LCT维护\(p_r\)的值。

接下来在每一个\(p_r\)求完之后，考虑图的点数-边数=1的限制。每一次\(r\)增加\(1\)的时候，都会增加一些新的可能的边。找到在矩阵上与\(r\)相邻且值在\([l,r]\)内的元素，设其中某一个的元素值为\(x\)，那么在\(l \leq x\)的时候边\((x,r)\)就会出现。我们可以使用线段树维护每一个左端点的点数-边数，每一次增加一些新点和新边就是前缀加减的过程。

最后我们需要查询线段树中值为\(1\)的数的个数。这在区间加法下似乎不太可做，但是注意到如果将不合法位置的值设为INF，那么线段树中\(1\)一定是最小值。所以就相当于是一个求区间最小值数量的问题，就可以使用线段树去做了。

#include
using namespace std;

int read(){
    int a = 0; char c = getchar(); bool f = 0;
    while(!isdigit(c)){f = c == '-'; c = getchar();}
    while(isdigit(c)){
        a = a * 10 + c - 48; c = getchar();
    }
    return f ? -a : a;
}

#define id(i , j) ((i - 1) * M + j)
#define PII pair < int , int >
const int _ = 2e5 + 3 , dir[4][2] = {0,1,0,-1,1,0,-1,0};
int N , M , L = 1 , R , arr[_]; long long cnt; PII to[_];

namespace segt{
    int mn[_ << 2] , cnt[_ << 2] , mrk[_ << 2];

#define mid ((l + r) >> 1)
#define lch (x << 1)
#define rch (x << 1 | 1)

    void init(int x , int l , int r){mn[x] = 1e9; cnt[x] = r - l + 1; if(l != r){init(lch , l , mid); init(rch , mid + 1 , r);}}
    void mark(int x , int val){mrk[x] += val; mn[x] += val;}
    void down(int x){mark(lch , mrk[x]); mark(rch , mrk[x]); mrk[x] = 0;}
    void up(int x){mn[x] = min(mn[lch] , mn[rch]); cnt[x] = (mn[x] == mn[lch]) * cnt[lch] + (mn[x] == mn[rch]) * cnt[rch];}
    
    void modify(int x , int l , int r , int L , int R , int val){
        if(l >= L && r <= R) return mark(x , val);
        down(x);
        if(mid >= L) modify(lch , l , mid , L , R , val);
        if(mid < R) modify(rch , mid + 1 , r , L , R , val);
        up(x);
    }
}

namespace LCT{
    int fa[_] , ch[_][2]; bool rmrk[_];
    
    bool nroot(int x){return ch[fa[x]][0] == x || ch[fa[x]][1] == x;}
    bool son(int x){return ch[fa[x]][1] == x;}
    void mark(int x){rmrk[x] ^= 1; swap(ch[x][0] , ch[x][1]);}
    void down(int x){if(rmrk[x]){mark(ch[x][0]); mark(ch[x][1]); rmrk[x] = 0;}}
    void dall(int x){if(nroot(x)) dall(fa[x]); down(x);}

    void rot(int x){
        bool f = son(x); int y = fa[x] , z = fa[y] , w = ch[x][f ^ 1];
        fa[x] = z; if(nroot(y)) ch[z][son(y)] = x;
        fa[y] = x; ch[x][f ^ 1] = y;
        ch[y][f] = w; if(w) fa[w] = y;
    }

    void splay(int x){dall(x); while(nroot(x)){if(nroot(fa[x])) rot(son(fa[x]) == son(x) ? fa[x] : x); rot(x);}}
    void access(int x){for(int y = 0 ; x ; y = x , x = fa[x]){splay(x); ch[x][1] = y;}}
    int fdrt(int x){access(x); splay(x); while(ch[x][0]) down(x = ch[x][0]); splay(x); return x;}
    void mkrt(int x){access(x); splay(x); mark(x);}
    void split(int x , int y){mkrt(x); access(y); splay(y);}
    void link(int x , int y){mkrt(x); fa[x] = y;}
    void cut(int x , int y){split(x , y); ch[y][0] = fa[x] = 0;}
}

void cut(){
    PII pos = to[L]; segt::modify(1 , 1 , N * M , L , L , 1e9);
    for(int i = 0 ; i < 4 ; ++i){
        int x = pos.first + dir[i][0] , y = pos.second + dir[i][1];
        if(x > 0 && x <= N && y > 0 && y <= M && LCT::fdrt(arr[id(x , y)]) == LCT::fdrt(L))
            LCT::cut(arr[id(x , y)] , L);
    }
    ++L;
}

void link(){
    PII pos = to[R];
    for(int i = 0 ; i < 4 ; ++i){
        int x = pos.first + dir[i][0] , y = pos.second + dir[i][1];
        if(x > 0 && x <= N && y > 0 && y <= M){
            int t = arr[id(x , y)];
            while(t >= L && LCT::fdrt(t) == LCT::fdrt(R)) cut();
            if(t >= L && t <= R) LCT::link(t , R);
        }
    }
    for(int i = 0 ; i < 4 ; ++i){
        int x = pos.first + dir[i][0] , y = pos.second + dir[i][1];
        if(x > 0 && x <= N && y > 0 && y <= M && arr[id(x , y)] >= L && arr[id(x , y)] <= R)
            segt::modify(1 , 1 , N * M , 1 , arr[id(x , y)] , -1);
    }
}

int main(){
    N = read(); M = read(); segt::init(1 , 1 , N * M);
    for(int i = 1 ; i <= N ; ++i) for(int j = 1 ; j <= M ; ++j) to[arr[id(i , j)] = read()] = PII(i , j);
    while(++R <= N * M){
        segt::modify(1 , 1 , N * M , R , R , -1e9);
        segt::modify(1 , 1 , N * M , 1 , R , 1); link();
        cnt += (segt::mn[1] == 1) * segt::cnt[1];
    }
    cout << cnt; return 0;
}