算法工程师修仙之路：吴恩达机器学习（十四）

吴恩达机器学习笔记及作业代码实现中文版

第十章 支持向量机

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直观上对大间隔的理解

• 人们有时将支持向量机看作是大间距分类器。

• 支持向量机模型的代价函数，在左边这里我画出了关于 z 的代价函数$cos{t}_1(z)$，此函数用于正样本，而在右边这里我画出了关于 z 的代价函数$cos{t}_0(z)$，横轴表示 z。
  

• 最小化代价函数的必要条件

  • 如果你有一个正样本，$y=1$，则只有在z >= 1时，代价函数$cos{t}_1(z)$才等于0。换句话说，如果你有一个正样本，我们会希望${\theta }^{T}x>=1$，反之，如果$y=0$，函数$cos{t}_0(z)$，它只有在z <= -1的区间里函数值为 0。
  • 事实上，如果你有一个正样本$y=1$，则其实我们仅仅要求${\theta }^{T}x$大于等于 0，就能将该样本恰当分出，这是因为如果${\theta }^{T}x>0$的话，我们的模型代价函数值为0，类似地，如果你有一个负样本，则仅需要${\theta }^{T}x<=0$就会将负例正确分离。
  • 但是，支持向量机的要求更高，不仅仅要能正确分开输入的样本，即不仅仅要求${\theta }^{T}x>0$，我们需要的是比0值大很多，比如大于等于1，或者比0小很多，比如我希望它小于等于-1，这就相当于在支持向量机中嵌入了一个额外的安全因子，或者说安全的间距因子。

• 如果$C$非常大，则最小化代价函数的时候，我们将会很希望找到一个使第一项为 0 的最优解。因此，让我们尝试在代价项的第一项为 0 的情形下理解该优化问题。

  • 首先支持向量机的代价函数表示如下：$mi{n}_{\theta }C{\sum }_{i=1}^m[y^{(i)}cos{t}_1({\theta }^T{x}^{(i)})+(1-y^{(i)})cos{t}_0({\theta }^T{x}^{(i)})]+\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^n{\theta }_j^2$。
  • 我们已经看到输入一个训练样本标签为$y=1$，你想令第一项为 0，你需要做的是找到一个$\theta$，使得${\theta }^{T}x>=1$，类似地，对于一个训练样本，标签为$y=0$，为了使$cos{t}_0(z)$函数的值为0，我们需要${\theta }^{T}x<=-1$。
  • 因为我们将选择参数使第一项为0，因此这个函数的第一项为0，因此是$C$乘以 0 加上二分之一乘以第二项。这将遵从以下的约束：${\theta }^{T}x>=1$，如果$y^{(i)}$是等于 1 的，${\theta }^{T}x<=-1$，如果样本$y^{(i)}$是一个负样本。

• 具体而言，如果你考察下面这样一个数据集，其中有正样本，也有负样本，可以看到这个数据集是线性可分的。
  

• 支持向量机将会选择这个黑色的决策边界，黑线看起来是更稳健的决策界。在分离正样本和负样本上它显得的更好。数学上来讲，这条黑线有更大的距离，这个距离叫做间距(margin)。

• 当画出两条额外的蓝线，我们看到黑色的决策界和训练样本之间有更大的最短距离。然而粉线和蓝线离训练样本就非常近，在分离样本的时候就会比黑线表现差。因此，这个距离叫做支持向量机的间距，而这是支持向量机具有鲁棒性的原因，因为它努力用一个最大间距来分离样本，因此支持向量机有时被称为大间距分类器。
  

• 我们将这个大间距分类器中的正则化因子常数$C$设置的非常大，因此对这样的一个数据集，也许我们将选择黑线这样的决策界，从而最大间距地分离开正样本和负样本。

• 在让代价函数最小化的过程中，我们希望找出在$y=1$和$y=0$两种情况下都使得代价函数中左边的这一项尽量为零的参数。如果我们找到了这样的参数，则我们的最小化问题便转变成：
  

• 事实上，支持向量机现在要比这个大间距分类器所体现得更成熟，尤其是当你使用大间距分类器的时候，你的学习算法会受异常点(outlier)的影响。

  • 比如我们加入一个额外的正样本：
    
  • 在这里，如果你加了这个样本，为了将样本用最大间距分开，也许我最终会得到一条类似这样粉色的线的决策界，仅仅基于一个异常值，仅仅基于一个样本，就将我的决策界从这条黑线变到这条粉线，这实在是不明智的。
  • 而如果正则化参数$C$设置的非常大，这事实上正是支持向量机将会做的。它将决策界，从黑线变到了粉线，但是如果$C$设置的小一点， 如果你将$C$设置的不要太大，则你最终会得到这条黑线。
  • 当然数据如果不是线性可分的，如果你在这里有一些正样本或者你在这里有一些负样本，则支持向量机也会将它们恰当分开。因此，大间距分类器的描述，仅仅是从直观上给出了正则化参数$C$非常大的情形。
  • $C$的作用类似于$1/\lambda$， $\lambda$是我们之前使用过的正则化参数。这只是$C$非常大的情形，或者等价$\lambda$非常小的情形。你最终会得到类似粉线这样的决策界，但是实际上应用支持向量机的时候，当$C$不是非常非常大的时候，它可以忽略掉一些异常点的影响，得到更好的决策界。甚至当你的数据不是线性可分的时候，支持向量机也可以给出好的结果。

• $C$较大时，相当于$\lambda$较小，可能会导致过拟合，高方差；$C$较小时，相当于$\lambda$较大，可能会导致低拟合，高偏差。