算法分析渐进符号(O、o、Θ、Ω、ω)总结

用“渐近记号”来表示“渐近复杂度”。

1.  渐近记号包括：

(1)Θ（西塔）：紧确界。            相当于"="

(2)O （大欧）：上界。              相当于"<="

(3)o（小欧）：非紧的上界。       相当于"<"

(4)Ω（大欧米伽）：下界。          相当于">="

(5)ω（小欧米伽）：非紧的下界。 相当于">"

给出这些记号的定义：

注解：渐近非负的意思是“当n趋于无穷大时，f(n)和g(n)都非负”。

2.  用集合论来表示这5个符号的关系：

从上面的图可以看出：

(1)如果f(n)=Θ(g(n)),则f(n)=O(g(n))且f(n)=Ω(g(n))。

(2)如果f(n)= o (g(n)),则f(n)=O(g(n))。

(3)如果f(n)=ω(g(n))，则f(n)=Ω(g(n))。

因此对于这些渐近记号的使用最准确应该是“f(n)∈ O (g(n))”，但是一般都是写成“f(n)=O(g(n))”。

给出一些例子：

O(n^2)可以是n,2n,1,2n^2等。

Θ(n^2)可以是n^2,3n^2等。

ω(n^2)可以是n^3,n^10等,但不能是n^2。

Ω(n^2)可以是n^2,n^3,n^10等。

o(n^2)可以是n,1,3n等,但不能是n^2。

3.  判断两个函数的渐近关系

我们这里给出了很通用的方法，叫做“极限法”。

看到上面的方法，很多人会问“怎么没有 O 和Ω？”，原因很简单，因为如果f(n)=O(g(n)),则要么是f(n)= o (g(n))，要么是f(n)=Θ(g(n))。

4.  相关法则

5.  常用的函数阶

下面是在分析算法的时候常见的函数分类列表。所有这些函数都处于趋近于无穷大的情况下，增长得慢的函数列在上面。是一个任意常数。

符号	名称
	常数（阶，下同）
	对数
	多对数
	线性，次线性
	为迭代对数
	线性对数，或对数线性、拟线性、超线性
	平方
	多项式，有时叫作“代数”（阶）
	指数，有时叫作“几何”（阶）
	阶乘，有时叫做“组合”（阶）