动态规划之求最短路径（java版）

求最短路径众所周知有Dijistra算法、Bellman-ford等，除了这些算法，用动态规划也可以求出最短路径，时间复杂度为O（n^2），跟没有优化的Dijistra算法一样（优化后的Dijistra算法时间复杂度为O（（m+n）lgn)）。

首先这里有15个结点，表现出来的矩阵为

左侧1-15表示前一个节点，最上面一行1-15表示后一个节点，记这个图的矩阵为P，那么P[0][1]==5表示节点0与节点1相连，路径长度为5。那么我们如何利用动态规划来求解最短路径？

首先我们需要把整个问题转换成小的子问题，利用小的子问题的最优解求出整个问题的最优解。

我们的目的是求0-15之间的最短路径，由图可知与节点15相连的是结点14和节点13，假设我们已经求出0-13的最短路径的值D13和0-14的最短路径的值D14，那么我们只需要比较D13+d(13-15)和D14+d(14-15)的大小就可以知道从哪个节点出发到节点15的路径最短。按照这个思想一直往前推，推到节点0时结束，自然就求出了节点0-节点15的最短路径，这个思路是递归的，如果用递归的方法，时间复杂度很高，当然你也可以用备忘录，记录已经计算过的值，我这里将递归转换成迭代。

我们先定义一个类class Node,里面存储节点的序号、从0到这个节点的最短路径的值、前一个节点的序号。

class node{
    public int number;
    //value是指从0到这个节点总共要走多远，执行算法前将value的值初始化为无穷大
    public int value;
    public int parent;
}

图的矩阵自己存一下，我这里不写了

//从矩阵a的第一行开始，一行行找相连的节点
for(int i = 0;i<16;i++){
            for(int j = 0;j<16;j++){
            //找到了相连节点
                if(a[i][j]!=0){
                //上一个节点的最短路径的值+与下一个节点相连路径上的值
                    d = n[i].value+a[i][j];
                    //判断是否比原先的值要小，如果小就将0-j节点的长度替换
                    if(dvalue){
                        n[j].value = d;
                        //记录前一个节点的序号
                        n[j].parent = i;
                    }
                }
            }
        }

最后将n[15].value打印出来就是最短路径的值，再根据parent的值往前找就得到最短路径的解，当然这个例子有不同的路径的解，虽然值一样，我这里只给了一种。