二进制常用的有原码,反码和补码,他们都是由最左边的一个符号位和右边的数值位构成。在计算机中为了更低成本的计算,数据都是用补码来存储和运算的。
最高位表示符号位(0代表正数,1代表负数)。剩下的位数,是这个数的绝对值的二进制。
比如 一个int变量大小为4字节,在32位的编译器中的二进制表示就是 00000000000000000000000000000000 00000000 00000000 00000000 00000000
那么 10 10 的原码就是 00000000000000000000000000001010 00000000 00000000 00000000 00001010
−10 − 10 的原码就是 10000000000000000000000000001010 10000000 00000000 00000000 00001010
正数的反码和其原码是一样的
负数的反码就是在其原码的基础上 符号位不变 其他位取反。
10 10 的反码就是 00000000000000000000000000001010 00000000 00000000 00000000 00001010 和原码一样
−10 − 10 的反码就是 11111111111111111111111111110101 11111111 11111111 11111111 11110101
正数的补码就是其原码
负数的补码就是在其反码的基础上 +1 + 1
10 10 的补码就是 00000000000000000000000000001010 00000000 00000000 00000000 00001010
−10 − 10 的补码就是 11111111111111111111111111111011 11111111 11111111 11111111 11111011
计算机系统中,数值一律用补码来表示:因为补码可以使符号位和数值位统一处理,同时可以使减法按照加法来处理。
二进制编码:数值编码分为原码,反码,补码,符号位均为0正1负。
原码 -> 补码: 数值位取反加1
补码 -> 原码: 对该补码的数值位继续 取反加1
补码 的绝对值(称为真值):正数的真值就是本身,负数的真值是各位(包括符号位)取反加1(即变成原码并把符号位取反).
^:按位异或; & & :按位与; | | :按位或
b -> -b : 各位(包括符号位)取反加1
我们先不考虑进位,在1位数的加法上,如下
1. 1+1=0 1 + 1 = 0
2. 1+0=1 1 + 0 = 1
3. 0+1=1 0 + 1 = 1
4. 0+0=0 0 + 0 = 0
很明显上面几个表达式我们可以用异或进行统一
1. 1 1 ^ 1=0 1 = 0
2. 1 1 ^ 0=1 0 = 1
3. 0 0 ^ 1=1 1 = 1
4. 0 0 ^ 0=0 0 = 0
这样我们就完成了最基础的一位数的加法,但是怎么计算二位以上的加法呢?我们发现现在方法的问题在于不能够获取进位,于是我们通过观察一位数的加法的式子,发现只有两个数位都是1的时候才会有进位,其他都不进位,这不是和 & & 很像吗? 我们通过把 + + 换成 & & 得到下式
1. 1&1=0 1 & 1 = 0 不进位
2. 1&0=1 1 & 0 = 1 不进位
3. 0&1=1 0 & 1 = 1 不进位
4. 0&0=0 0 & 0 = 0 进位
那么我们把所有位进行 & & 操作,然后 << << 左移一位,不就可以当作加数当前的进位吗?
到这里我们就完整解决了二进制相加问题中,对应位的相加和进位的问题
1. x x ^ y y 加法
2. (x&y)<<1 ( x & y ) << 1 进位操作
那么总结一下:
a a ^ b b 是不考虑进位时加法结果。当二进制位同时为 1 1 时,才有进位,因此 (a&b)<<1 ( a & b ) << 1 是进位产生的值,称为进位补偿。将两者相加便是完整加法结果。
利用定理1中的等式不停对自身进行迭代。每迭代一次,进位补偿右边就多一位 0 0 ,因此最多需要加数二进制位长度次迭代,进位补偿就变为 0 0 ,这时运算结束。
那么我们可以根据上面的定理得到实际的C++代码如下
int add(int a, int b){
int re = a;
while(b){
int tmp = a;
a = a^b;
b = (tmp&b)<<1;
re = a;
}
return re;
}
减法和加法原理相同,减去一个数相当于加上这个数的相反数,所以完全可以利用加法操作,唯一需要做的就是求出被减数的相反数。
求相反数的方法:每一位取反,末位加一。
代码如下:
int subtraction(int a, int b)
{
b = add(~b,1); // 求b的相反数
return add(a, b);
}
二进制的乘法同十进制的乘法并无什么不一样,对于 a∗b a ∗ b 每次只需要将a左移对应的位,然后同上一次的结果相加即可
当b的对应位为 1 1 的时候,对a左移一位相加即可
当b的对应位位 0 0 的时候,对a左移一位,但是不相加
注意到我们上面的操作都是不包括符号位的,因此我们单独考虑符号位。
代码如下
int getSign(int n)
{
unsigned count = 0;
//计算n的位数
do{
++count;
}while(n >> count)
//得到n的最左边的位
return n >> (count-1);
}
int mul(int a, int b){
bool isNegative = false;
if(getSign(a) ^ getSigned(b))
isNegative = true;
if(a < 0) a = add(~a,1);//求出a的绝对值
if(b < 0) b = add(~b,1);//求出b的绝对值
int res = 0;
while(b){ //当b不为0,继续循环
if(b & 1) //当b当前位为1 才需要加a
res = add(res,a);
a = a << 1;
b = b >> 1;
}
if(isNegative)
add(~res,1);
return res;
}
同乘法一样,除法一样可以用减法来代替,当 a≥b a ≥ b 才可以上商,在每次上一个商(也就是商值加 1 1 )之后, a=a−b a = a − b
代码如下
int divide(int a, int b){
if(!b)
throw std::runtime_error("Divided can't be zero...");
bool isNegative = false;
bool isNegtive = false;
if(getSign(a) ^ getSign(b))
isNegtive = true;
if(a < 0) a = add(~a,1);//求出a的绝对值
if(b < 0) b = add(~b,1);//求出b的绝对值
int res = 0;
while(a >= b){
res = add(res,1);
a = subtraction(a,b);
}
if(isNegative)
add(~res,1);
return res;
}