微分学_一元函数最值的求解_蜂房房底结构的设计

【关键词】

微分学_一元函数最值的求解_蜂房房底结构的设计

【所涉及的数学理论】

微分学中一元函数最值的求解

【前言】

蜜蜂真是一个智慧的生物啊，将自己的巢房设计得简直perfect，可以说各个方面都很perfect，今天主要说其中的一个perfect，就是智慧而又勤劳的的蜜蜂们将自己的巢房的房底的菱形设计成了两个角分别为 70°32′和109°28′ ，也许你现在感觉这并没有什么啊，可是我现在就告诉你，经过数学家们通过如今的科学优化计算，如要使设计的巢房的表面积最小（即最省材料），房底的菱形的两个角必须设计成为 70°32′和09°28′ 。今天就亲自进行数学推导进行验证。当我发现到这里的时候，我真的是惊呆了，蜜蜂真是智慧啊！在感叹的同时，又要我思考两个和巢房设计无关的问题：一是，理论和实践的关系；二是，数学的本质及和自然的关系。真是奇妙！

【实际问题】

对巢房的实际结构进行描述。如图1所示，图1（1）为众多巢房组合的正视图，图1（3）为众多巢房组合的剖视图，图1（2）为单个独立巢房的结构示意图。每个巢房无缝隙紧密挨着，但是每个巢房却不是正六棱柱体，每个巢房的门为正六边形，每个巢房的房底不是平面，而是由三个相同的菱形拼接而成的椎体。

图1 巢房的基本结构

关于蜂房的结构我们有很多很多问题可以验证，如为什么每个巢房的门不是四边形不是圆形而是正六边形？为什么房底设计成为3个相同的菱形拼接而成的椎体而不是其他不规则空间结构？。。。。。。真的是太多问题了，而今天我们为了突出主要问题，所以对众多次要问题进行忽略和假设。此时我们作为巢房的设计者，我们假设此时已经知道房底设计成为3个相同的菱形拼接而成的椎体是最优的情况了，然后我们所面临的问题是：菱形的两个角设计成为多大后才能使表面积最小，材料最省呢？

【实际问题的数学模型】

由于实际问题讲起来过于复杂，为了通俗易懂，所以讲巢房问题转换一支正六棱柱的铅笔的问题，即用削铅笔拼接的过程来模型巢房房底的设计过程。（当然这是华老前辈的原创，我只是一个搬运工）。下面进行叙述。拿来一支未削过的正六棱柱的铅笔，如图2（1）所示，现在开始削铅笔，通过AC斜切一刀下去后，形成新截面APC，再将三角形APC以AC为对称轴翻转至AP’c位置，即形成了一个菱形APCP’，过AE、CE类似，即可形成图2（2）的结构。

                                                                         （1）未削过的铅笔的俯视图 （2）削过的铅笔的结构示意图

图2 削铅笔模型

巢房的数学问题的等价问法就是：切削时，必须保证|BP|多长时，才能使所形成的巢房的表面积最小？

【求解】

假设正六棱柱的边长为1，即AB=AC=CD=1。如图3（1）所示，则

把图2（2）的表面等分为6份，把其中一份的表面平铺成如图3（2）所示，则切割前后所面积的变化为

令

图3 解题图

所以问题就变为“ x为多少时， △S最小？”的纯数学问题，这不就是微分学中的求最值问题么，下面用微分学中的知识进行求解：
S1:求导

S2:令 f '(x)=0得

S3: 对f(x)求二阶导数，得                                                                  

   

S4: 在 x=1/（根号8） 取得极小值，在本问题中即为最小值。
最值问题求解完毕。此时，来看一下角度问题吧，即

这个结果是自己用计算器计算出来的结果，由于计算器也存在误差，所以角度结果验证完毕。就问你，蜜蜂伟大不！

【参考文献】

[1] 彩万志. 蜜蜂巢房的结构与仿生[J]. 昆虫知识
[2] 华罗庚. 谈谈与蜂房结构ss有关的数学问题[M]
（因为本文叙述的简单且极可能存在问题，所以可查阅上述参考文献进行深层次的阅读和理解，由于本人水平有限，如有错误欢迎留言探讨和指出）