华师ACM新生赛1005

观察下面的数字三角形。

在每一个点，只能走到左下角的一个点，或者右下角的一个点。

特别的，三角形中值为-1的点是不可经过的，请不要经过这些点。

找到一条从最高点到最低点的路径，使得经过的数字的和最大，输出这个和，如果没有这样的路径，输出”Impossible”（输出不要加双引号）。

    7 

   3 8 

  8 1 0 

 2 7 4 4 

4 -1 2 6 5 

 

解题思路：第一思路就是暴力法，通过遍历三角形的所有路线，对比最终的值就能得出结果。但是效率不高，原因是三角形每多一层，遍历量则乘以2，这样复杂度是O（2^n），如果是多组数据的话必然会LTE，所以需要使用一种新的方法来改进效率。

这种方法叫做动态规划。在数字三角形的每一个节点都有两个策略，要不是向左走，要不是向右走，一直到最后一步。不妨定义题目给出的数字三角形是a（i,j），另一个数字三角形d（i,j），其中i与j表示第i层的第j个元素。

对于任意一个d（i,j），它表示当前状态下走到a（i,j）节点所有路线中的最大值，也就是说d事实上是一种状态。对于d的计算，给出下列方法：

状态转移方程：

这样，d（n,j）（也就是数字三角形的最后一层）将会得到j个可能的最大值，将这些值求出最大值即可。

重点来了，如何处理-1这个节点？题目要求是遇到-1表示不能通过，其实可以通过标记元素来避免这个问题。当a（i,j）是-1的时候，将d（i,j）对应的赋值为0，这样该状态不会被下一个状态累加。

 

代码细节：

1.解题思路里面提到了当a（i,j）是-1的时候，将d（i,j）对应的赋值为0，这样会不会对下一个状态有影响？事实上是不会的。原因是题目给出的数字全部是非负数，这意味着数字三角形每过一层都会数值增加，如果将状态清零，这样子该状态到最后一层肯定不是最大值。

2.注意题目还有一个要求是无法输出结果的情况，这种情况是当三角形里面某一层全部是-1的时候就无法输出结果。

3.定义二维数组的下标是从（1，1）开始的，所以不需要考虑越界的问题。前提是初始化二维数组为0。

代码清单：