UOJ450 集训队作业2018 复读机
Problem
UOJ
Solution
注意到 d ≤ 3 d\leq 3 d≤3， d = 2 d=2 d=2 时 k ≤ 5 × 1 0 5 k\leq 5\times 10^5 k≤5×105， d = 3 d=3 d=3 时 k ≤ 1000 k\leq 1000 k≤1000，明示分类讨论= =
对于 d = 1 d=1 d=1，答案显然是 k n k^n kn
其他的，我们可以考虑用指数型生成函数，对于每个复读机的生成函数都一样，如果我们设生成函数为 f ( x ) f(x) f(x)，那么答案其实就是 f k ( x ) [ n ] f^k(x)[n] fk(x)[n]。
对于 d = 2 d=2 d=2， { 1 , 0 , 1 , 0 , ⋯ } \{1,0,1,0,\cdots\} {1,0,1,0,⋯}，它的指数型生成函数是 f ( x ) = e x + e − x 2 f(x)=\frac {e^x+e^{-x}} 2 f(x)=2ex+e−x，那么
f k ( x ) = 1 2 k ( e x + e − x ) k = 1 2 k ∑ i = 0 k ( k i ) e i x e ( i − k ) x = 1 2 k ∑ i = 0 k ( k i ) e ( 2 i − k ) x f^k(x)=\frac 1 {2^k} (e^x+e^{-x})^k=\frac 1 {2^k}\sum_{i=0}^k\binom k i e^{ix}e^{(i-k)x}=\frac 1 {2^k}\sum_{i=0}^k\binom k i e^{(2i-k)x} fk(x)=2k1(ex+e−x)k=2k1i=0∑k(ik)eixe(i−k)x=2k1i=0∑k(ik)e(2i−k)x
而 ( e a x ) [ n ] = a n (e^{ax})[n]=a^n (eax)[n]=an，因此直接暴力枚举 i i i +快速幂即可做到 O ( k log n ) O(k\log n) O(klogn)。
对于 d = 3 d=3 d=3， { 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , ⋯ } \{1,0,0,1,0,0,1,\cdots\} {1,0,0,1,0,0,1,⋯}，好像不会背公式了。。但可以用单位根反演解一个通式
(1) f ( x ) = ∑ i = 0 ∞ [ d ∣ i ] x i i ! = 1 d ∑ i = 0 ∞ ∑ j = 0 d − 1 ( w d j x ) i i ! = 1 d ∑ j = 0 d − 1 e w d j x f(x)=\sum_{i=0}^\infty[d|i]\frac {x^i} {i!}=\frac 1 d\sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^{d-1} \frac {(w_d^{j} x)^i} {i!}=\frac 1 d\sum_{j=0}^{d-1} e^{w_d^jx}\tag 1 f(x)=i=0∑∞[d∣i]i!xi=d1i=0∑∞j=0∑d−1i!(wdjx)i=d1j=0∑d−1ewdjx(1)
而恰好在 p = 19491001 p=19491001 p=19491001 意义下，可以定义 w 3 = G p − 1 3 w_3=G^{\frac {p-1} {3}} w3=G3p−1。把 d = 3 d=3 d=3 代入 ( 1 ) (1) (1) 式，可以得到：
f k ( x ) = 1 3 k ( e x + e w 3 1 x + e w 3 2 x ) k f^k(x)=\frac 1 {3^k}(e^x+e^{w_3^1x}+e^{w_3^2x})^k fk(x)=3k1(ex+ew31x+ew32x)k
f k ( x ) = 1 3 k ∑ i = 0 k ( k i ) e i x ( e w 3 1 x + e w 3 2 ) k − i f^k(x)=\frac 1 {3^k} \sum_{i=0}^k\binom k i e^{ix}(e^{w_3^1x}+e^{w_3^{2}})^{k-i} fk(x)=3k1i=0∑k(ik)eix(ew31x+ew32)k−i
f k ( x ) = 1 3 k ∑ i = 0 k ( k i ) e i x ( ∑ j = 0 k − i ( k − i j ) e w 3 1 j + w 3 2 ( k − i − j ) ) f^k(x)=\frac 1 {3^k} \sum_{i=0}^k\binom k i e^{ix}\biggl( \sum_{j=0}^{k-i} \binom {k-i} j e^{w_3^1j+w_3^2(k-i-j)} \biggr) fk(x)=3k1i=0∑k(ik)eix(j=0∑k−i(jk−i)ew31j+w32(k−i−j))
然而先求右边括号里的再求左边是有问题的= =只好把所有的幂都合并
f k ( x ) = 1 3 k ∑ i = 0 k ( k i ) ( ∑ j = 0 k − i ( k − i j ) e i x + w 3 1 j x + w 3 2 ( k − i − j ) x ) f^k(x)=\frac 1 {3^k} \sum_{i=0}^k\binom k i \biggl( \sum_{j=0}^{k-i} \binom {k-i} j e^{ix+w_3^1jx+w_3^2(k-i-j)x} \biggr) fk(x)=3k1i=0∑k(ik)(j=0∑k−i(jk−i)eix+w31jx+w32(k−i−j)x)
同样暴力做，时间复杂度 O ( k 2 log n ) O(k^2\log n) O(k2logn)。
Code
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