C与指针——指针（三）

编程练习（续）

4.

质数就是只能被1和本身整除的整数。Eratosthenes筛选法是一种计算质数的有效办法。这个算法的第一步就是写下所有从2至某个上限之间的所有整数。在算法的剩余部分，你遍历整个列表并剔除所有不是质数的整数。

后面的步骤是这样的。找到列表中的第1个不被剔除的数（也就是2）,然后将列表后面所有逢双的数都剔除，因为它们都可以被2整除，因此不是质数。接着，再回到列表的头部重新开始，此时列表中尚未被剔除的第一个数是3,所以在3之后把每逢第3个数（3的倍数）剔除。完成这一步之后，再回到列表开头，3后面的下一个数是4,但它是2的倍数，已经被剔除，所以将其跳过，轮到5,将所有5的倍数剔除。这样依次类推、反复进行，最后列表中未被剔除的数均为质数。

编写一个程序，实现这个算法，使用数组表示你的列表。每个数组元素的值用于标记对应的数是否剔除。开始时数组所有元素的值都设置为TURE,当算法要求“剔除”其对应的数时，就把这个元素设置为FALSE。如果你的程序运行于16位的机器上，小心考虑是不是需要把某个变量声明为long。一开始先使用包含1000个元素的数组。如果你使用字符数组，使用相同的空间，你将会比使用整数数组找到更多的质数。你可以使用下标来表示指向数组首元素和尾元素的指针，但你应该使用指针来访问数组元素。

注意除了2以外，所有的偶数都不是质数。稍微多想一下，你可以使程序的空间效率大为提高，方法是数组中的所有元素只对应奇数。这样，在相同的数组空间内，你可以寻找到的质数的个数大约是原先的两倍。

埃式筛选法：
（1）先把1删除（现今数学界1既不是质数也不是合数）
（2）读取队列中当前最小的数2，然后把2的倍数删去
（3）读取队列中当前最小的数3，然后把3的倍数删去
（4）读取队列中当前最小的数5，然后把5的倍数删去
（5）读取队列中当前最小的数7，然后把7的倍数删去
（6）如上所述直到需求的范围内所有的数均删除或读取
注：此处的队列并非数据结构队列，如需保留运算结果，处于存储空间的充分利用以及大量删除操作的实施，建议采用链表的数据结构。

程序如下：

/*以字符数组为存储单位且在数组中仅使用奇数的方法筛选质数*/
#include 
#define MAX 1001
void Eratosthenes(char []);

int main()
{
    int i;
    int count = 0; //计数器 
    char prime[1001]; //使用字符数组找到更多(多于整数数组的)质数
    for(i = 1; i < MAX; i++)
        prime[i] = 1;//起初所有数组元素值设为真 

    printf("the prime range is 2 to %d\n",MAX * 2 + 1);//质数范围为2~2003 
    Eratosthenes(prime); 
    printf("2\n"); //输出2（除2外所有偶数均非质数） 
    for(i = 1; i < MAX; i++){ //这里i作为数组下标 
        if(prime[i] == 1){
            printf("%d ",i * 2 + 1); //第一次输出3 
            count++; 
            if(count % 15 == 0)//15组数字换一行 
            printf("\n"); 
        }
    }
}

void Eratosthenes(char prime[]) //埃式筛法(埃拉托色尼筛选法) 
{
    int i,j; 
	//0

运行结果：

注：

在看这道题的程序时，涉及到算法，如若在理解的过程中略微吃力，建议可书面手写循环过程帮助理解。
另外在读到“如果你使用字符数组，使用相同的空间，你将会比使用整数数组找到更多的质数”题干中的这句话，还仔细地回顾了一下字符数组与整型数组的区别。
1.字符型数组中的每个元素占一个字节，而整型数组中的每个元素占四个字节，因此，在相同的空间下，使用字符数组便可以得到更多想要的结果；
2.字符型数组在字符串的最后面需要添加一个字符串结束符’\0’，而整型数组没有此规定。

之前使用的字符型数组通常用来存放字符型数据，这是因为字符型数据是以字符的ASCII代码存储在存储单元中的，一般占一个字节，而ASCII也属于整数形式，所以在C99标准中，字符类型也归属于整数类型。C语言中没有字符串类型，字符串是存放在字符型数组中的。

5.

修改前一题的Eratosthenes程序，使用位的数组而不是字符数组，这里要用到第5章编程练习中所开发的位数组函数。这个修改使程序的空间效率进一步提高，不过代价是时间效率降低。在你的系统中，使用这个方法，你所能找到的最大质数是多少？
程序如下：

#include
#define CHAR_BIT 8

void set_bit(char bit_array[20],unsigned bit_number);
void clear_bit(char bit_array[],unsigned bit_number);
void assign_bit(char bit_array[],unsigned bit_number,int value);
int test_bit(char bit_array[],unsigned bit_number);

int main() {
	int i ;
	char arr[1000];
	PrimeUseBit(arr, 1000);
	printf("2");
	for (i = 0; i < 8000; ++i) {	// 循环次数需要更改
		if (test_bit(arr,i)) {			// 判断条件需要更改
			printf(" %d", 2 * i + 3);
		}
	}
}

// 使用位数组
int PrimeUseBit(char *arr, int size) {
	int i,curr,del;
	if (arr == NULL) {
		return;
	}
	size *= 8;				
	
	// 起初将所有元素值设为TRUE
	for (i = 0; i < size; ++i) {
		set_bit(arr, i);		
	}
	// 剔除偶数,在对应的元素上置0
	for (curr = 0; curr < size; ++curr) {
		if (test_bit(arr,curr)) {	// 该位置未被剔除,即参数中指定位非0则为真 
			int span = 2 * curr + 3;	
			for (del = curr + span; del < size; del += span) {
				clear_bit(arr, del);	// 剔除该位置 
			}
		}		
	}
}
unsigned character_offset(unsigned bit_number)
{
    return bit_number / CHAR_BIT;
} //将bit_number转换为字符数组中的元素
unsigned bit_offset(unsigned bit_number)
{
    return bit_number % CHAR_BIT;
} 

void set_bit(char bit_array[], unsigned bit_number)
{
    bit_array[character_offset(bit_number)] |= 1 << bit_offset(bit_number);
} 
void clear_bit(char bit_array[], unsigned bit_number)
{
    bit_array[character_offset(bit_number)] &=~ (1 << bit_offset(bit_number));
}
void assign_bit(char bit_array[], unsigned bit_number, int value)
{
    if(value != 0)
        set_bit(bit_array,bit_number);
    else
        clear_bit(bit_array,bit_number);
}
int test_bit(char bit_array[], unsigned bit_number)
{
    if(bit_array[character_offset(bit_number)] & 1 << bit_offset(bit_number) !=  0)
        return 1;
    else
        return 0;
}

运行结果：

关于位数组的代码注释可参考我《C与指针——操作符和表达式(二)》中的内容，在这里便不赘述了。这段代码的运行结果其实还是存在一定问题的，到运行结果的后面出现了一些非质数的数字混在其中。当然，我也花了不少时间找bug……待我日后时间充裕且豁然开朗之时再来修改。

6.

大质数是不是和小质数一样多？换句话说，在50 000和51 000之间的质数是不是和1 000 000到1 001 000之间的质数一样多？使用前面的程序计算0到1 000之间有多少个质数？1 000到2 000之间有多少个质数？以此每隔1 000类推，到1000000（或是你机器上允许的最大正整数）有多少个质数？每隔1 000个数中质数的数量呈什么趋势？

程序如下：

#include 
#define MAX 1000001

int Eratosthenes(char [], int max);

int main()
{
    int i,max;
    int sum = 0;
    int count = 0;
    char prime[MAX];
    for(i = 1; i < MAX; i++)
        prime[i] = 1;
    for(max = 100000; max < MAX; max += 100000){
        count = Eratosthenes(prime,max);
        printf("%f\n",(float)max/count * 1000);
    }//为看出其趋势，对每个区间的质数分别求其平均数 
}

int Eratosthenes(char prime[], int max)
{
    int count = 0;
    int i,j;
    int i_p,j_p;

    for(i = 1; i < max; i++)
        prime[i] = 1;
    
    for(i = 1; i < max; i++){
        if(prime[i] == 1){
            i_p = 2 * i + 1;
            for(j = 2 * i_p; j < max * 2 + 1; j += i_p)
                if(j % 2 == 1 && prime[(j-1)/2] == 1){
                    j_p = (j - 1)/2;
                    prime[j_p] = 0;
                    count++;
                }
        }
    }
    return count;
}

运行结果：

这个运行结果，看上去也像是有一定规律存在的，对这道题的后续探索，就留给对数学感兴趣的网友啦。
这一章节中的挺多程序还是非常值得好好研究的，也确实花了我不少时间，甚至一整天只为思索一个bug，睡前闭眼脑海里都是指针在指来指去。日后这部分内容会进行相应的回顾，这篇博客日后也是要进行相应的完善，毕竟有些知识点现在还未完全掌握。

最近身边的氛围过于焦躁
就连空气中都悬浮着不安与彷徨
也对，大抵该是拨开迷雾的时候了

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近期内会收心准备竞赛
《C与指针》就等忙完了这一阵子再继续吧
嗯，用心对待，一期一会