4200: [Noi2015]小园丁与老司机
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Description
小园丁 Mr. S 负责看管一片田野，田野可以看作一个二维平面。田野上有 nn 棵许愿树，编号 1,2,3,…,n1,2,3,…,n，每棵树可以看作平面上的一个点，其中第 ii 棵树 （1≤i≤n1≤i≤n） 位于坐标 (xi,yi)(xi,yi)。任意两棵树的坐标均不相同。
老司机 Mr. P 从原点 (0,0)(0,0) 驾车出发，进行若干轮行动。每一轮，Mr. P 首先选择任意一个满足以下条件的方向：
为左、右、上、左上 45∘45∘ 、右上 45∘45∘ 五个方向之一。
沿此方向前进可以到达一棵他尚未许愿过的树。
完成选择后，Mr. P 沿该方向直线前进，必须到达该方向上距离最近的尚未许愿的树，在树下许愿并继续下一轮行动。如果没有满足条件的方向可供选择，则停止行动。他会采取最优策略，在尽可能多的树下许愿。若最优策略不唯一，可以选择任意一种。
不幸的是，小园丁 Mr. S 发现由于田野土质松软，老司机 Mr. P 的小汽车在每轮行进过程中，都会在田野上留下一条车辙印，一条车辙印可看作以两棵树（或原点和一棵树）为端点的一条线段。
在 Mr. P 之后，还有很多许愿者计划驾车来田野许愿，这些许愿者都会像 Mr. P 一样任选一种最优策略行动。Mr. S 认为非左右方向（即上、左上 45∘45∘ 、右上 45∘45∘ 三个方向）的车辙印很不美观，为了维护田野的形象，他打算租用一些轧路机，在这群许愿者到来之前夯实所有“可能留下非左右方向车辙印”的地面。
“可能留下非左右方向车辙印”的地面应当是田野上的若干条线段，其中每条线段都包含在某一种最优策略的行进路线中。每台轧路机都采取满足以下三个条件的工作模式：
从原点或任意一棵树出发。
只能向上、左上 45∘45∘ 、右上 45∘45∘ 三个方向之一移动，并且只能在树下改变方向或停止。
只能经过“可能留下非左右方向车辙印”的地面，但是同一块地面可以被多台轧路机经过。
现在 Mr. P 和 Mr. S 分别向你提出了一个问题:
请给 Mr .P 指出任意一条最优路线。
请告诉 Mr. S 最少需要租用多少台轧路机。
Input
输入文件的第 1 行包含 1 个正整数 n，表示许愿树的数量。
接下来 n 行，第 i+1 行包含 2个整数 xi,yi，中间用单个空格隔开，表示第 i 棵许愿树的坐标。
Output
输出文件包括 3 行。
输出文件的第 1 行输出 1 个整数 m，表示 Mr. P 最多能在多少棵树下许愿。
输出文件的第 2 行输出 m 个整数，相邻整数之间用单个空格隔开，表示 Mr. P 应该依次在哪些树下许愿。
输出文件的第 3 行输出 1 个整数，表示 Mr. S 最少需要租用多少台轧路机。
Sample Input
6
-1 1
1 1
-2 2
0 8
0 9
0 10
Sample Output
3
2 1 3
3
explanation
最优路线 2 条可许愿 3 次：(0,0)→(1,1)→(−1,1)→(−2,2)(0,0)→(1,1)→(−1,1)→(−2,2) 或 (0,0)→(0,8)→(0,9)→(0,10)(0,0)→(0,8)→(0,9)→(0,10)。 至少 3 台轧路机，路线是 (0,0)→(1,1)(0,0)→(1,1)，(−1,1)→(−2,2)(−1,1)→(−2,2) 和 (0,0)→(0,8)→(0,9)→(0,10)(0,0)→(0,8)→(0,9)→(0,10)。
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dp + 有上下界的最小流，细节非常非常非常多。。。。。搞了整整一上午。。。
先考虑前两问，，老司机的开车方向只能向纵坐标增大，或者是左右开，因而可以分开dp
定义g[i]:第i个点，由y小于yi的点转移而来，最大值
那么对于每个i，从下往上走到i的方向只有三个，找出这三个方向上距离i最近的点，直接转移就行了
定义f[i]:第i个点，由左边或者右边开过来的最大值
对于f[i]的转移，首先让所有可能的路径开到当前这一层，也就是处理好该层所有的g[i]
贪心地想，如果要从同层的i开到j，假设i在j左边，那么最好的方案，就是i先开到最左端，然后慢慢往右开
反过来也是一样的，因此对于每层的f[i]，从左往右从右往左分别用g[i]更新一次就行了
因而对于g[i]的转移，其实是要同时考虑三个方向上的点的f[i]和g[i]
最后检查一下所有点的f[i]，g[i]，就能得出第一问了。
现在要找出路径，任取一个合法的终点，每次判断它是属于哪一类(同层转移或者下层往上得到)
然后在符合的转移集合直接枚举上一个点，再继续搜索，要注意同层转移的时候把中间点加入
这样就解决了前两问，对于第三问，建模如下
倒着dp一次，和找路径的方式一样，处理出所有可能成为最短路径上的边，同层边忽略
对于从下往上的边(i,j)，从i向j连一条下界为1，上界为INF的边
对于所有可能在最短路上的点，从s到它连一条INF的边，它到t连一条INF的边
也就是说，可以无限从这个点进入，无限在这个点停止
对于该网络的最小可行流就是第三问的答案
怎么求最小流？在网上搜了很久很久，，确定了时间复杂度低又好实现的模板
先构造成循环流，但先不添加(t,s,INF)这条边
然后跑一遍超级源汇最大流，再添加(t,s,INF)，跑第二遍超级源汇最大流，这次跑出的最大流就是原图最小流了
最后，，此题细节很多。。
网上看到有人实现的时候，说题目给定每层的点不超过1k，因而每层直接O(N^2)暴力找路
然后又说只T第7个点。其实第7个点根本没有每层不超过1k点的限制的
因此，我处理的时候，是开一个vis数组，判断哪些点有没有被加入最短路集合
这样dp就可以写成BFS的模式，但是不能同时找随机路径(因为路径的点可能在入集合前就被经过了)
总之码农题都是好麻烦的。。。。
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