Manacher's Algorithm-马拉车算法-JavaScript实现

马拉车算法简介

  马拉车算法：Manacher‘s Algorithm是用来查找一个字符串的最长回文子串的线性方法，由一个叫Manacher的人在1975年发明的，这个方法的最大贡献是在于将时间复杂度提升到了线性，时间复杂度为O(n)。

什么是最长回文子串？

  首先说什么是回文字符串：从左往右读和从右往左读是一样的就是回文字符串，比如"bob"是奇数形式的回文，"noon"就是偶数形式的回文，奇偶指的是字符串的长度。
  这样就简单了：最长回文子串就是一个字符串中的长度最大的那个回文字符串。

如何处理字符串长度奇偶个数呢？

  上面一个小点说到了字符串长度分奇偶，如果在分析字符串时分为奇数和偶数分别讨论，是不是感觉有点不好啊！我们要的是统一起来处理，只有一种情况。
  马拉车算法提供的思路是对字符串做一个预处理：在每个字符的前后加上一个符号，比如“#”。来看看处理后的字符串是什么样的：
  bob   -->  #b#o#b#
  noon   -->  #n#o#o#n#
  分析上面两个字符串：长度为奇数的字符串处理后还是奇数个；长度为偶数的字符串处理后变为了奇数个。现在两种情况已经统一了：统一对奇数个的字符串做分析。

算法分析

  马拉车算法在暂时已知的第 i 个字符之前已经推出来的最长回文长度下，要么直接得出第 i 个字符的回文长度，要么拓展匹配，效率是很高的，关键就是下面的这句代码：

  child[i] = i<right ? Math.min(child[2*mid-i],right-i) : 1;

  首先判断第 i 个字符是否还在右边界内：右边界就是第 i 个字符加上它的回文长度 child[i]
  1、如果不在右边界内：那么没有办法走捷径直接得出当前字符的回文长度，child[i]赋值为 1 ，接下来还是老老实实地一个字符一个字符匹配，体现在 while 循环语句。
  2、如果在右边界内：那么可以走捷径了，根据回文特性，在暂时已知的最长回文子串的中心 mid 左右两边肯定是对称的，所以 i 关于 mid 的对称点是：mid-（i-mid），简化后就是 2mid-i ；根据对称性：child[i] 在右边界内的那一部分肯定等于 child[2mid-i] 在左边界内的那一部分。到底取什么值就是 Math.min 来判断的。
  Math.min(child[2*mid-i],right-i) 解释:这里为什么选两者中小的那个呢？
  1)、当 child[2mid-i] 较小时，说明以 i 点处字符为中心的回文完全在(mid,right)区间内，直接附值即可。
  2)、当 child[2mid-i] 较大时，说明以 i 点处字符为中心的回文至少在(mid,right)区间内，可能有超出右边界的却又能够匹配的字符，所以先附值 right-i,然后再对超出 right 边界的字符一一做对称匹配。接下来的匹配体现在 while 循环语句。

贴上JavaScript代码

  String.prototype.longestPalindrome = function()
  {
	    var str = "#",	//预处理字符串
	        mid = 0,  	//当前最长回文子串的中心
	        right = 0,	//当前最长回文子串的右边界
	        maxLen = 0,	//最长回文子串长度
	        maxLenMid = 0,//最长回文子串的中心
	        child = [];	  //存放每个字符的回文长度
	    /*
	      预处理字符串,之后的字符串长度奇偶个数就统一了
	      比如  abba   -->  #a#b#b#a#     偶数个长度变为了奇数个
	            abfba  -->  #a#b#f#b#a#   奇数个长度没有变
	    */
	    for(var i=0;i<this.length;i++) {
	      str += this[i] + '#';
	    }
	    for(var i=0;i<str.length;i++) 
	    {
	      /*第 i 个字符是否还在右边界内
	        Math.min(child[2*mid-i],right-i) 解释:这里为什么选两者中小的那个呢？
	        1、当child[2*mid-i]较小时，说明以 i 点处字符为中心的回文*完全*在(mid,right)区间内，直接附值即可。
	        2、当child[2*mid-i]较大时，说明以 i 点处字符为中心的回文*至少*在(mid,right)区间内，可能有
	           超出的能够匹配的字符，所以先附值 right-i,然后再对超出 right 边界的字符一一做对称匹配。 
	        算出 child[i] 的值了，下面的 while 循环就是对接下来的字符做匹配操作的
	      */
	      child[i] = i<right ? Math.min(child[2*mid-i],right-i) : 1;
	      //接下来从 i+-child[i] 再做逐个比较
	      while (str.charAt(i+child[i]) == str.charAt(i-child[i])){
	        child[i]++;
	      }
	      //是否更新右边界:如果当前 i 加上 i 的回文长度 child[i] 大于原先的右边界,就更新
	      if(right < child[i]+i) {
	        mid = i;
	        right = child[i]+i;
	      }
	      //是否更新最长回文子串的长度及其中心位置：如果当前 i 的回文长度child[i]大于原先的最长回文长度,就更新
	      if(maxLen < child[i]) {
	        maxLen = child[i];
	        maxLenMid = i;
	      }
	    }
	    //根据两个变量 maxLenMid 和 maxLen 判断子串在原字符串中的位置,取出子串再返回
	    return this.substr((maxLenMid+1-maxLen)/2,maxLen-1);
  };