浅谈最短路-SPFA算法

SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)（队列优化）

·优点

      SPFA算法是求单源最短路的一种算法，解决了Dijkstra算法无法应用于给定的图存在负权边的问题，而且其复杂度要小于Bellman-Ford算法，是比较高的一种最短路算法。

·原理

     我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行*松弛操作*，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

*松弛操作*：如果从原点到点u(泛指所有与k相连的点)的距离加上u到k的距离小于原来预测的点k到原点距离，就更新。形如把折线拉直，即称松弛操作。

·实现方法

      建立一个队列，初始时队列里只有起始点，再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径（该表格的初始值要赋为极大值，该点到他本身的路径赋为0）。然后执行松弛操作，用队列里有的点去刷新起始点到所有点的最短路，如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。

·时间复杂度

      O(me)  其中m为所有顶点进队的平均次数

·定理

      只要最短路径存在，该SPFA算法必定能求出最小值

·算法实现

      题目来源：POJ  1860

      题目链接：http://poj.org/problem?id=1860

      题目大意：有多种汇币，汇币之间可以交换，这需要手续费，当你用100A币交换B币时，A到B的汇率是29.75，手续费是0.39，那么你可以得到(100- 0.39) * 29.75 = 2963.3975 B币。问s币的金额经过交换最终得到的s币金额数能否增加。货币的交换是可以重复多次的，所以我们需要找出是否存在正权回路，且最后得到的s金额是增加的，怎么找正权回路呢？（正权回路：在这一回 路上，顶点的权值能不断增加即能一直进行松弛）

      解题思路：一种货币就是一个点，一个“兑换点”就是图上两种货币之间的一个兑换方式，是双边，但A到B的汇率和手续费可能与B到A的汇率和手续费不同。唯一值得注意的是权值，当拥有货币A的数量为v时，A到A的权值为1，即没有兑换，而A到B的权值为(v-cab)*rab。可以运用求最短路径的方法求最大路径，采用SPFA算法，初始化dis(s)=v，而源点到其他点的距离（权值）初始化为无穷小（0），当s到其他某点的距离能不断变大时，说明存在最大路径；如果可以一直变大，说明存在正环，即YES。

      算法实现：

#include
#include
#include
using namespace std;

int n,m,s;
double v;
double dis[110],rate[110][110],cost[110][110];
bool b[110];

bool spfa(int s)
{
    memset(dis,0,sizeof(dis));
    memset(b,0,sizeof(b));
    dis[s]=v;//将原货币值加入数组
    queue q;
    q.push(s);//加入原点
    b[s]=true;
    while(!q.empty())
    {
        int m=q.front();
        q.pop();
        b[m]=false;
        for(int i=0; i<=n; i++)
        {
            if(dis[i]<(dis[m]-cost[m][i])*rate[m][i])
            {
                dis[i]=(dis[m]-cost[m][i])*rate[m][i];
                if(dis[s]>v)
                    return true; //金额增加,则返回true
                if(!b[i])
                {
                    q.push(i);
/*由于图中的任意一条边都是双向的,且其中的回路可以走任意多次(回路上的货币可能一直增加)则如果存在使得货币增加的回路,回路上的点会被push进队列,则一定能够回到源节点.如果不存在使得货币增加的路径,则肯定不存在一直循环增加的回路,那么队列肯定不会一直增长即不会陷入死循环*/
                    b[i]=true;
                }
            }
        }
    }
    return false;//金额不增加,返回false
}

int main()
{
    while(scanf("%d %d %d %lf",&n,&m,&s,&v)!=EOF)
    {
        int a,b;
        double rab,rba,cab,cba;//rab为以a换b的汇率 cab为以a换b的代价
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                if(i==j)
                    rate[i][j]=1;//自身换自身汇率为1
                else
                    rate[i][j]=0;//其余初始化为0
                cost[i][j]=0;//代价全部初始化为0
            }
        }
        while (m--)
        {
            scanf("%d %d %lf %lf %lf %lf",&a,&b,&rab,&cab,&rba,&cba);
            rate[a][b]=rab;
            rate[b][a]=rba;
            cost[a][b]=cab;
            cost[b][a]=cba;
        }//完善数组rate和cost
        if(spfa(s))
            printf("YES\n");
        else
            printf("NO\n");
    }
    return 0;
}

                                                                                                                                                                                                 //部分资料来自于百度百科