数的补数 -- 编程技巧

补数的概念：

今天在浏览各大编程练习题库时，发现一个快被自己忘却的概念：补数；
例如时钟指示为6点，想要它指向3点，可以按顺时针方向将分针转9圈，也可以逆时针方向转3圈，结果是一致的。
由于时针转一圈为12小时，而其中12在时钟里是不被显示而自动丢失的，即15-12=3,15点和3点在时钟表示上是一致的。
想象一下，在时钟这个问题上，任何时候时针向顺时针转9圈和逆时针转3圈的效果都是一致的，我们将方向定位正负，即-3与+9等价。而数学上称12为模写作（mod 12），而称+9是-3以12为模的补数。
记为：-3  +9(mod 12)             -4  +8(mod 12)               -5  +7(mod 12)
可以将模理解为一个足够大的正数，足够大到比你运算所有数字的绝对值都要大。
【以上截取自《计算机组成原理·第二版》唐朔飞著P221】
因此在模确定的情况下：
正数的补数为其自身。
一个正数和一个负数互为补数时，两数的绝对值之和为模。
一个负数可用它的正补数来代替，而这个正补数可以用模加上负数本身来得到。

分析：

在现在讨论的这个问题中（计算机存储），数的存储是以二进制进行存储的，所以模就是2的幂次方。
换而言之，此时的补数就相当于一个数（原码）的反码，即 补数 ==》反码；
例如 5 的原码：101，  那么 5 的反码：010，  即 5 的补数是 2 ；
可能大家会觉得既然是反码，为何不直接用（~）取反喃。答案是肯定不行的。
因为一般而言就unsigned int来说是32bit，这简单举例一下：

数	8bit	16bit
5	0000 0101	0000 0000 0000 0101
~5	1111 1010	1111 1111 1111 1010

（~）符号不仅仅是将原码取反，还要将原码前面包含的所有的前导零一起取反。
因此不能简单的用（~）取反操作来进行反码的寻找。

步骤：

既然不能用（~）取反操作，那么应该怎么得到补数（反码）喃o(╯□╰)o？？？
例如LeetCode的这道题：https://leetcode-cn.com/problems/number-complement
当时欣赏（实则是仰慕）了一下其他大神的作品，仅仅三行代码，以为又是些垃圾文章一时间没反应过来心中直接一句国骂(*￣︶￣)。回过神来仔细琢磨后，幸好当时我是躺在床上而不是站着，不然可能真会因腿软给跪了。

public static void main(String[] args){
    int num = 5;
    System.out.println(~num & (Integer.highestOneBit(num) - 1));
}

/* 这是段Java代码，以上各个符号的作用:	 
 * Integer.highestOneBit(num) ：取num的二进制数最左边的最高位，且高位后面全部补零，最后返回int型的结果。
 * -1：经过上面的步骤，只有最高位为 1 其余位都为 0 这样再减一  就会导致借位 直到借到最高位  
 *     结果得到 最高位为0 其余位都为1  相当于取反了
 *  &：对两个二进制数进行按位与运算
 * ~ ：对一个数的二进制取反
 */

这里实例解释一下，为简单起见用8bit存储来举例：
例如 5 在计算机中存储的方式是： 0000 0101，而结果是要 0000 0010；
而 ~5：1111 1010，要将其转化为 0000 0010，就需要想办法将倒数第4位及其前面的1变为0；

现在问题就是如何让 1111 1010 转化为 0000 0010 ，当然八仙过海各显神通；
而大神的方法是：~num & (Integer.highestOneBit(num) - 1) ;

首先Integer.highestOneBit(num)   取5的不含前导位的二进制的最高位，即101  取最高位1，其他位都补0，得到100；
减一之后变为 011 ，这时再和 ~num 进行与运算， 因为 011 位数不够，所以前导部分需要填补0，即 ：

~num	1111 1010
Integer.highestOneBit(num) - 1	0000 0011
&	0000 0010

想象一下，为什么要取到 num原码的最高位并后位补零，再减一？
因为 num 原码取反后最高位的 1 必定变成 0，而我们只需要除最高位的其他位的值；
而 ~num 后其前导位也会变成 1，为消除前导位的 1，引入Integer.highestOneBit(num) - 1；
因为Integer.highestOneBit(num) - 1使除最高位的其他位为 1，其余为 0，如此向 & 后就得到补数。

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还有这第二种解法：类似于IP地址计算，先寻找一个num的掩码mask，对mask取反就可得到上述相同的效果；
例如 5 的二进制是 101，占3个bit，那么这个掩码 mask 的最后3个bit是0，其余全部是1；

5	0000 0101
mask	1111 1000

~5	1111 1010
~mask	0000 0111

（~5）&（~mask）

0000 0010

class Solution {
public:
    int findComplement(int num) {
        unsigned mask = ~0;    //掩码初始为二进制全部是1
        while(num & mask)
            mask <<= 1;        //左移掩码
        return (~num) & (~mask);
    }
};

参考：
https://blog.csdn.net/u012351768/article/details/76283904
https://blog.csdn.net/changyourmind/article/details/52369994