BSGS算法 学习笔记

引入

BSGS算法，原名Baby Steps Giant Steps，又名大小步算法，拔山盖世算法，北上广深算法——by SLYZoier，数论基本算法之一。

问题

给定 a,b,p ，求最小的非负整数 x ，满足 ax≡b(modp)

题解

这就是经典的BSGS算法，方法如下：
令 x=im−j ， m=⌈p√⌉ ，则 aim−j≡b(modp)
移项，得 (am)i≡baj(modp)
首先，从 0−m 枚举 j ，将得到的 baj 的值存入hash表；
然后，从 1−m 枚举 i ，计算 (am)i ，查表，如果有值与之相等，则当时得到的 im−j 是最小值。

讨论

1、讨论无解的情况？
方程有解的充要条件是 p 为质数且 (a,p)=1
可以发现这是费马小定理的条件，会在问题2中讨论。
2、为什么 m 取 ⌈p√⌉ 就可以？
我们先考虑枚举的思路：如果要是枚举 x 的值的话应该何时停止？
首先证明： akmodp−1≡ak(modp)
ak−m(p−1)≡ak(modp)
akam(p−1)≡ak(modp)
即使 (ap−1)m≡1(modp)
由费马小定理知当 p 为质数且 (a,p)=1 时 ap−1≡1(modp)
推出 p 为质数且 (a,p)=1 这个条件，并证明结论 akmodp−1≡ak(modp)

即我们得到：枚举 x 的话枚举到 p 即可。
所以使 im−j<=p ，即 m=⌈p√⌉ ， i,j 最大值也为m。

3、为什么第一个枚举到的 im−j 是最小值？
首先要明确的一点是，枚举 j 时算出来的值有可能重复，那么我们在hash表里就要用新的值覆盖原来的值。正确性显而易见，要保证 im−j 最小，就要保证 j 最大。
为什么枚举到最小的 i 就是最小值呢？思考每枚举到一个 i ， im 的值实际上是在原来的基础上增加了 m ，而 j 的范围是 [0,m] ，也就是说 im 增加的幅度一定比 j 增加的幅度大，从而保证了首先枚举到的一定是最小值。
4、为什么从 0−m 枚举 j ，而从 1−m 枚举 i ？
i 不能为0，否则 im−j 有可能出现负数的情况