证明：gcd(m,n)=gcd(n mod m,m)成立，m,n为正整数，m>0. 【Euclid算法证明】

 --本文证明部分转载自：   http://www.cnblogs.com/ider/archive/2010/11/16/gcd_euclid.html   作者：  Ider 

网上证明如他所说确实多，但他的我读完刚开始也没理解，后来查下其他资料，比较了下，还是他写的最好， 后面文字说明是我写的心得，建议先看他的证明，再结合我最后的思路。不懂得地方就举一个例子，还是好理解的，我觉得我这个版本应该是差不多解释的最好的了。

证明：gcd(m,n)=gcd(n mod m,m)成立，m,n为正整数，m>0.

证明：

1)1个常识：

如果 a≥b 并且 b≤a，那么 a=b.

 

2个前提：

1）只在非负整数范围内讨论两个数 m 和 n 的最大公约数，即 m, n ∈ N.

2）0可以被任何数整除，但是0不能整除任何数，即 ∀x(x|0) and ∀x(0| x).

 

2)1个引理：

假设 k|a, k|b，则对任意的 x,y  ∈ Z， k|(xa+yb)均成立.

证明：

　　k|a => a=pk, k|b => b==qk (其中 p,q ∈ Z)

　　于是有 xa+yb=xpk+yqk=(xp+yq)k

　　因为 k|(xp+yq)k, 所以 k|(xa+yb)         // 此处表示(xa+yb) 被k整除。

 

3）gcd的Euclid算法证明：

命题：对任意 m, n ∈ N，证明gcd(m,n) = gcd(n, m mod n)

证明：

　　令 k=gcd(m,n),则 k|m 并且 k|n;

      令 j=gcd(n, m mod n), 则j|n 并且 j|(m mod n);

　   对于m, 可以用n 表示为 m=pn+(m mod n);

　　由引理可知 j|m（其中 x=p,y=1）, 又 j|n，于是 j 是 m 和 n 的公约数（但不一定是最大的）;

　　因为 k 是 m 和 n 的最大公约数，所以必有 k≥j;

　　通过另一种表示形式：(m mod n)=m-pn,同理可得：

　　k|(m mod n),又k|n，于是 k 是 (m mod n) 和 n 的公约数（也不一定是最大的）;

　　同样由 j 是 n 和 (m mod n) 的最大公约数可以得到 j≥k;

　　由常识，得出结论 k=j,

　　即gcd(m,n) = gcd(n, m mod n) ，得证。

 

 

 //思路：

      先预证明k是m,m mod n 的公约数， 再证明j是m，n的公约数，最后由 k≥j和 j≥k得知k= j，又因为k，j本来就是gcd()，所以gcd(m,n) = gcd(n, m mod n)证明完毕。

  //第一步：

     先证明k>=j,怎么证明呢？由条件k=gcd(m,n)可知k已经是n,m的最大公约数！所以找一个比k小的约数不就好了吗！下面证明n,m的一个公约数：

由j=gcd(n, m mod n)可知j|n 并且 j|(m mod n) ：既表示n被j整除，(m mod n)被j整除。

所以找到一个n的约数是 j,再找到m的约数为 j即可。

    由条件知m=pn+(m mod n);(为什么m=pn+(m mod n)?因为(m mod n)可以表示成m=pn+(m mod n)，m mod n表示m对n整除后的余数。)

再由j=gcd(n, m mod n)可知：n和(m mod n)均被j整除，就是说n和(m mod n)有一个公约数是j。所以由整除的结合律(引理)得 : pn+(m mod n) 可以提出一个公约数j, 所以m必定被j整除。既m的约数为j。

    其中m=pn+(m mod n) 表示p倍的n加上1倍的(m mod n) =m,p为任意整数，1本来就是整数。所以m必定被j整除。

    到此可知：n,m的一个公约数是j,因为 k=gcd(m,n)，所以k>=j。第一步证明完毕。

   //  第二步：证明j>=k即可。

      由条件 k|n可知：n有一个约数为k;再找到 m mod n 的约数也为 k即可。

     m mod n =m-qn;(其中p,q均为整数)，又因为k=gcd(m,n)：m,n的公约数是k(最大的)，由整除的结合律可知：m mod n 被k整除，即找到了m mod n 的一个约数为k。

        再由j=gcd(n, m mod n)所以j>=k;第二步证明完毕。

  //  第三步：下结论

        由于 k>=j，j>=k; 由常识可知k=j。再由k=gcd(m,n) 且 j= gcd(n, m mod n)，故gcd(m,n) = gcd(n, m mod n)。证明完毕！

       最后它有个m=0,n=0的特殊情况不在证明范围内，他们也有分歧。我是这么想的，0的时候两边最大公约数不都是0，肯定等式成立啊。可能你说m  mod  n ,不能整除啊，这里我也不清楚，我想是它0特殊，0的余数本来就是0，不用除。所以0是不能作为证明里的范围，有争议。文章搞得匆忙，也许还有些许错误，望读者勘误，谢谢。